统计学习理论

统计学习理论(英语:Statistical learning theory),一种机器学习的架构,根据统计学泛函分析(Functional Analysis)而建立。统计学习理论基于资料(data),找出预测性函数,之后解决问题。支持向量机(Support Vector Machine)的理论基础来自于统计学习理论。

形式定义

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 为所有可能的输入组成的向量空间,  为所有可能的输出组成的向量空间。统计学习理论认为,积空间 上存在某个未知的概率分布 。训练集由这个概率分布中的 个样例构成,并用 表示。每个 都是训练数据的一个输入向量, 而 则是对应的输出向量。

损失函数

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损失函数的选择是机器学习算法所选的函数 中的决定性因素。 损失函数也影响着算法的收敛速率。损失函数的凸性也十分重要。[1]

根据问题是回归问题还是分类问题,我们可以使用不同的损失函数。

回归问题

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回归问题中最常用的损失函数是平方损失函数(也被称为L2-范数)。类似的损失函数也被用在普通最小二乘回归。其形式是:

 

另一个常见的损失函数是绝对值范数(L1-范数):

 

分类问题

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某种程度上说0-1指示函数是分类问题中最自然的损失函数。它在预测结果与真实结果相同时取0,相异时取1。对于 的二分类问题,这可以表示为:

 

其中 单位阶跃函数

正则化

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这张图片给出了机器学习中过拟合的例子。图中红点表示训练数据,绿色曲线表示真实的函数关系,而蓝色曲线为习得的过度拟合了的函数。

机器学习的一大常见问题是过拟合。由于机器学习是一个预测问题,其目标并不是找到一个与(之前观测到的)数据最拟合的的函数,而是寻找一个能对未来的输入作出最精确预测的函数。经验风险最小化有过拟合的风险:找到的函数完美地匹配现有数据但并不能很好地预测未来的输出。

过拟合的常见表现是不稳定的解:训练数据的一个小的扰动会导致学到的函数的巨大波动。可以证明,如果解的稳定性可以得到保证,那么其可推广性和一致性也同样能得到保证。[2][3] 正则化可以解决过拟合的问题并增加解的稳定性。

正则化可以通过限制假设空间 来完成。一个常见的例子是把 限制为线性函数:这可以被看成是把问题简化为标准设计的线性回归 也可以被限制为 次多项式,指数函数,或L1上的有界函数。对假设空间的限制能防止过拟合的原因是,潜在的函数的形式得到了限制,因此防止了那些能给出任意接近于0的经验风险的复杂函数。

一个正则化的样例是吉洪诺夫正则化,即最小化如下损失函数

 

其中正则化参数 为一个固定的正参数。吉洪诺夫正则化保证了解的存在性、唯一性和稳定性。[4]

  1. ^ Rosasco, L., Vito, E.D., Caponnetto, A., Fiana, M., and Verri A. 2004. Neural computation Vol 16, pp 1063-1076
  2. ^ Vapnik, V.N. and Chervonenkis, A.Y. 1971. On the uniform convergence of relative frequencies of events to their probabilities. Theory of Probability and its Applications Vol 16, pp 264-280.
  3. ^ Mukherjee, S., Niyogi, P. Poggio, T., and Rifkin, R. 2006. Learning theory: stability is sufficient for generalization and necessary and sufficient for consistency of empirical risk minimization. Advances in Computational Mathematics. Vol 25, pp 161-193.
  4. ^ Tomaso Poggio, Lorenzo Rosasco, et al. Statistical Learning Theory and Applications, 2012, Class 2页面存档备份,存于互联网档案馆