艾伦伯格-斯廷罗德公理

在数学的代数拓扑学中,艾伦伯格-斯廷罗德公理(英语:Eilenberg–Steenrod axioms)是拓扑空间同调论的共有性质。符合这套公理的同调论的典型例子,是由塞缪尔·艾伦伯格诺曼·斯廷罗德建立的奇异同调英语singular homology

同调论可以定义为符合艾伦伯格-斯廷罗德公理的函子列。这个公理化方法在1945年建立,可以用来证明只要符合公理的同调论都会有的共同结果,例如迈耶-菲托里斯序列英语Mayer–Vietoris sequence

如果省略了其中的维数公理,那么其余的公理所定义的是广义同调论英语extraordinary homology theory。最早出现的广义同调论是K-理论配边理论英语cobordism theory

正式定义

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艾伦伯格-斯廷罗德公理用于从拓扑空间偶(X, A)范畴到阿贝尔群范畴的函子列 ,连同称为边界映射自然变换 。(在此Hi − 1(A)是Hi − 1(A,∅)的简记。)这套公理是:

  1. 恒同映射 在同调群中诱导的同态 是恒同同态。
  2. 设有空间偶的映射  ,那么 
  3. 设有空间偶的映射 ,那么 
  4. 同伦:同伦的映射在同调群中诱导相同的同态。换言之,如果 同伦 ,那么其诱导同态相同:
      对所有n ≥ 0。
  5. 切除:设(X, A)是空间偶,UX的子集,使得U的闭包包含在A的内部之中。那么包含映射 在同调群中诱导的是同构
  6. 维数:设P是单点空间,那么  对所有n ≠ 0。
  7. 正合:任何空间偶(X, A)经由包含映射  ,都在同调群中诱导出长正合序列
     

约翰·米尔诺增加了一条公理:

可加性:设 是拓扑空间族 不交并,那么 

P是单点空间,那么 称为系数群

结果

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同调群的一些结果可以用公理推导出,例如同伦等价空间的同调群是同构的。

一些较为简单的空间的同调群可以直接从公理算出,比如n-球面。因此可以推导出(n-1)-球面不是n-球的收缩。用这个结果可以给出布劳威尔不动点定理的一个证明。

维数公理

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如果一个同调论符合差不多所有艾伦伯格-斯廷罗德公理,但维数公理除外,便称为广义同调论英语extraordinary homology theory(对偶概念为广义上同调论)。一些重要例子在1950年代发现,例如拓扑K-理论配边理论英语cobordism theory,都是广义上同调论,并有与之对偶的同调论。

参看

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参考文献

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  • Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Axiomatic approach to homology theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
  • Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Foundations of algebraic topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952. xv+328 pp.
  • Glen Bredon英语Glen Bredon: Topology and Geometry, 1993, ISBN 0-387-97926-3.
  • James W. Vick. Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology 2nd edition. Springer-Verlag. 1994.