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射流 (数学) ”标题相近或相同的条目，请见“
射流 ”。
射流 ，也称节 （英语：Jet ）在数学中是指取一个可微函数 f 并在其定义域的每一点产生一个多项式 ，也就是f 的截尾泰勒多项式 的操作。虽然这是一个射流的定义，射流理论将这些多项式作为抽象多项式 而不是多项式函数。
本节集中描述在一点的一个函数的射流的两种不同的严格定义，之后讨论泰勒定理。这些定义在给出在两个流形之间的射流的内蕴定义中是很有用的。
如下的定义采用了数学分析 中定义射流和射流空间的思想。它可以推广到巴拿赫空间 之间的光滑函数 、实或复域 之间的解析函数 、p进分析 、或是其它的分析领域。
令
C
∞
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
k 为非负整数，并令p 为
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
f 和g 等价如果f 和g 在p 有相同的值，并且所有它们的偏导数 等价到k 阶，若f 和g 在p 数值相同，并且它们直到p 阶的偏导数全部相同。
k 阶射流空间
C
∞
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
p 定义为
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
光滑函数
f
∈
C
∞
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
k 阶射流定义为f 在
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
如下定义采用代数几何 和交换代数 中的思想来建立射流和射流空间的概念。虽然这个定义不太适合代数几何本身，因为它属于光滑范畴，但也很容易修改为适合代数几何的使用的形式。
令
C
∞
(
R
p
n
,
R
m
)
{\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }_{p}^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
光滑函数
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
p 的芽 的向量空间 。令
m
p
{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}
p 为零的函数的理想。(这是局部环
C
∞
(
R
p
n
,
R
m
)
{\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }_{p}^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
极大理想 。)则理想
m
p
k
+
1
{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}
p 直到k 阶导数全部为零的函数的芽组成。现在我们可以定义p 点的射流空间 为
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
=
C
∞
(
R
p
n
,
R
m
)
/
m
p
k
+
1
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C^{\infty }({\mathbb {R} }_{p}^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}
若
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
f 在p 的k 阶射流为
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
J
p
k
f
=
f
(
mod
m
p
k
+
1
)
{\displaystyle J_{p}^{k}f=f\ ({\hbox{mod}}\ {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1})}
不管怎样定义，泰勒定理建立了向量空间
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
R
m
[
z
]
/
(
z
k
+
1
)
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z]/(z^{k+1})}
我们定义了位于一点
p
∈
R
n
{\displaystyle p\in {\mathbb {R} }^{n}}
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
f (p )=q 的函数f 的射流组成的子空间记为
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
q
=
{
J
k
f
∈
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
|
f
(
p
)
=
q
}
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})|f(p)=q\right\}}
若M 和N 是两个光滑流形 ，我们如何定义函数
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
M 和N 上的局部坐标 来定义。这个方法的缺点是流形不能在这种方式下以等变 的形式来定义。射流不像张量 那样变换。实际上，两个流形间的函数的射流属于一个射流丛 。
本节先引入从实直线到流形的函数的射流的概念。然后，证明这样的射流构成一个纤维丛 ，和切丛 类似，它也是一个射流丛 的一个伴随丛。接下来，讨论定义两个光滑流形间的函数的射流的问题。在整节中，我们全部采用分析方法。虽然代数几何方法在很多应用中更合适，因其过于微妙不便于在此系统论述。细节请参看射流 (代数几何) 。
假设M 为一个光滑流形，p 为其中一点。我们来定义穿过p 的曲线 的射流，我们所指的曲线也即使得f (0)=p 的光滑函数
f
:
R
→
M
{\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow M}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
f 和g 为一对穿过p 的曲线。我们称f 和g 在p 为k 阶等价，如果存在p 的某个邻域 U ，使得对于每个光滑函数
φ
:
U
→
R
{\displaystyle \varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }}
J
0
k
(
φ
∘
f
)
=
J
0
k
(
φ
∘
g
)
{\displaystyle J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)}
φ
∘
f
{\displaystyle \varphi \circ f}
φ
∘
g
{\displaystyle \varphi \circ g}
p 的曲线的k 阶相切 。
现在我们定义k 阶射流空间
J
0
k
(
R
,
M
)
p
{\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
p 的曲线构成的等价类。曲线f 穿过p 的k 阶射流定义为f 所属的等价类，记为
J
k
f
{\displaystyle J^{k}f}
J
0
k
f
{\displaystyle J_{0}^{k}f}
这构成了一个实向量空间。随着p 在M 中变化，
J
0
k
(
R
,
M
)
p
{\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
M 上的一个纤维丛 :k 阶切丛 ，经常记为T k M （虽然这个记号有时会导致混淆）。在k =1时，一阶切丛就是通常的切丛：T 1 M =TM 。
要证明T k M 实际上构成一个纤维丛，我们需要查看一下
J
0
k
(
R
,
M
)
p
{\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
x i x 1 x n M 在p 的邻域U 中的一个局部坐标系。稍微滥用记号 一下，我们可以视(x i 微分同胚
(
x
i
)
:
M
→
R
n
{\displaystyle (x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
断言： 穿过p 的两条曲线f 和g 以
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
当且仅当
J
0
k
(
(
x
i
)
∘
f
)
=
J
0
k
(
(
x
i
)
∘
g
)
{\displaystyle J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)}
p 的某个邻域
U
⊂
V
{\displaystyle U\subset V}
显然，仅当 这部分很清楚，因为这n 的函数x 1 x n M 到
R
{\displaystyle {\mathbb {R} }}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
J
0
k
(
x
i
∘
f
)
=
J
0
k
(
x
i
∘
g
)
{\displaystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)}
反过来，假设φ是一个M 上在p 的一个邻域内的光滑实值函数。因为每个光滑函数有一个局部坐标表达式，我们可以将φ表达为坐标的函数。精确地讲，假设Q 是M 中接近 p 的一点，则
φ
(
Q
)
=
ψ
(
x
1
(
Q
)
,
…
,
x
n
(
Q
)
)
{\displaystyle \varphi (Q)=\psi (x_{1}(Q),\dots ,x_{n}(Q))}
对于某个n 个实变量的光滑实值函数ψ成立。因此，对于穿过p 的曲线f 和g ，我们有
φ
∘
f
=
ψ
(
x
1
∘
f
,
…
,
x
n
∘
f
)
{\displaystyle \varphi \circ f=\psi (x_{1}\circ f,\dots ,x_{n}\circ f)}
φ
∘
g
=
ψ
(
x
1
∘
g
,
…
,
x
n
∘
g
)
{\displaystyle \varphi \circ g=\psi (x_{1}\circ g,\dots ,x_{n}\circ g)}
从链式法则即可得到断言中当 的部分。例如，若f 和g 是实变量t 的函数，则
d
d
t
(
ψ
∘
f
)
(
t
)
|
t
=
0
=
∑
i
=
1
n
d
d
t
(
x
i
∘
f
)
(
t
)
|
t
=
0
(
D
i
ψ
)
∘
f
(
0
)
{\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\left(\psi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x_{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)}
这和同样的表达式中用g 代替f 计算有相同的值，因为f (0)=g (0)=p并且f 和g 在坐标系(x i k 阶相切。 因此，这个表面上的纤维丛T k M 确实有每个坐标邻域中的局部平凡化。至此，要证明这个表面上的纤维丛是真正的纤维丛，只需证明它在坐标变换下有非奇异的变换函数。令
(
y
i
)
:
M
→
R
n
{\displaystyle (y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}
ρ
=
(
x
i
)
∘
(
y
i
)
−
1
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}
坐标变换 微分同胚。通过
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
仿射变换 ，我们可以不失一般性 地假设ρ(0)=0。在该假设下，只要证明
J
0
k
ρ
:
J
0
k
(
R
n
,
R
n
)
→
J
0
k
(
R
n
,
R
n
)
{\displaystyle J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})}
射流群 。）但是由于ρ是微分同胚，
ρ
−
1
{\displaystyle \rho ^{-1}}
I
=
J
0
k
I
=
J
0
k
(
ρ
∘
ρ
−
1
)
=
J
0
k
(
ρ
)
∘
J
0
k
(
ρ
−
1
)
{\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})}
这表明
J
0
k
ρ
{\displaystyle J_{0}^{k}\rho }
直观的来讲，这意味着我们可以用M 上的局部坐标中的泰勒级数来表达一个曲线的射流。
局部坐标中的例子：
如前所示，通过p 的一条曲线的1阶射流就是一个切向量。在p 的一个切向量就是一个一阶微分算子 ，它作用于p 点的光滑实值函数。在局部坐标中，每个切向量有如下形式
v
=
∑
i
v
i
∂
∂
x
i
{\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
给定这样的一个切向量v ，令f 为在坐标系x i
x
i
∘
f
(
t
)
=
t
v
i
{\displaystyle x^{i}\circ f(t)=tv^{i}}
p 的一个邻域中的光滑函数，且φ(p )=0，则
φ
∘
f
:
R
→
R
{\displaystyle \varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}
是一个光滑实值单变量函数，其1阶射流如下
J
0
1
(
φ
∘
f
)
(
t
)
=
t
v
i
∂
f
∂
x
i
(
p
)
{\displaystyle J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=tv^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)}
这表明，可以自然地将切向量和过该点的曲线的1阶射流等同起来。 在以点p 为中心的局部坐标系xi 中，我们可以将曲线f (t )的二阶泰勒多项式表达如下
x
i
(
t
)
=
t
d
x
i
d
t
(
0
)
+
t
2
2
d
2
x
i
d
t
2
.
{\displaystyle x^{i}(t)=t{\frac {dx^{i}}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}.}
所以在这个x 坐标系中，过p 的曲线的2阶射流可以等同为一个实数的列表
(
x
˙
i
,
x
¨
i
)
{\displaystyle ({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})}
令(y i
d
d
t
y
i
(
x
(
t
)
)
=
∂
y
i
∂
x
j
(
x
(
t
)
)
d
x
j
d
t
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}y^{i}(x(t))={\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(x(t)){\frac {dx^{j}}{dt}}(t)}
d
2
d
t
2
y
i
(
x
(
t
)
)
=
∂
2
y
i
∂
x
j
∂
x
k
(
x
(
t
)
)
d
x
j
d
t
(
t
)
d
x
k
d
t
(
t
)
+
∂
y
i
∂
x
j
(
x
(
t
)
)
d
2
x
j
d
t
2
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(x(t))={\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(x(t)){\frac {dx^{j}}{dt}}(t){\frac {dx^{k}}{dt}}(t)+{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(x(t)){\frac {d^{2}x^{j}}{dt^{2}}}(t)}
因此，变换通过在t =0计算如下两个表达式给出。
y
˙
i
=
∂
y
i
∂
x
j
(
0
)
x
˙
j
{\displaystyle {\dot {y}}^{i}={\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}}
y
¨
i
=
∂
2
y
i
∂
x
j
∂
x
k
(
0
)
x
˙
j
x
˙
k
+
∂
y
i
∂
x
j
(
0
)
x
¨
k
.
{\displaystyle {\ddot {y}}^{i}={\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{k}.}
注意，二阶射流的变化法则在坐标变换函数中是二阶的。 现在可以定义从流形到流形的函数的射流了。
设M 和N 为两个光滑流形。令p 为M 一点。考虑由定义在p 的某个邻域中的光滑映射
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
C
p
∞
(
M
,
N
)
{\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}
C
p
∞
(
M
,
N
)
{\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
f 和g 称为等价 的，若对于每条穿过p 的曲线γ（按此处常规，这表示一个使得
γ
(
0
)
=
p
{\displaystyle \gamma (0)=p}
γ
:
R
→
M
{\displaystyle \gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M}
p 的某个领域上有
J
0
k
(
f
∘
γ
)
=
J
0
k
(
g
∘
γ
)
{\displaystyle J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}
J
p
k
(
M
,
N
)
{\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}
C
p
∞
(
M
,
N
)
{\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
N 不需要有代数结构，
J
p
k
(
M
,
N
)
{\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}
若
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
p 附近的光滑函数，则我们定义f 在p 的k 阶射流
J
p
k
f
{\displaystyle J_{p}^{k}f}
f 以
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
本节讨论向量丛 的局部截面的射流的概念。所有本节的内容可以在做适当的改动后推广到纤维丛 、巴拿赫流形 上的巴拿赫丛 、纤维化流形 、或者概形 上的准一致层 的局部截面的情况。而且，这些例子只是可以作的推广的一部分而已。
设E 为流形M 上的有限维光滑向量丛，其投影为
π
:
E
→
M
{\displaystyle \pi :E\rightarrow M}
E 的截面为满足
π
∘
s
{\displaystyle \pi \circ s}
M 上的恒等自同构 的光滑函数
s
:
M
→
E
{\displaystyle s:M\rightarrow E}
s 在p 的一个邻域上的射流就是从M 到E 的光滑函数在点p 的射流。
这些在点p 的射流的空间记为
J
p
k
(
M
,
E
)
{\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}
和从流形到另一流形的函数的射流不同，在p 的截面的射流有继承自截面本身的向量空间结构的向量空间结构。随着p 在M 上变化，射流空间
J
p
k
(
M
,
E
)
{\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}
M 上的丛，也就是E 的k 阶射流丛 ，记为J k E )。
我们采用一点的局部坐标。考虑一个向量场
v
=
v
i
(
x
)
∂
/
∂
x
i
{\displaystyle v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}}
在M 中点p 的一个邻域。v 的一阶射流可以通过取向量场的系数的一阶泰勒多项式得到：
v
i
(
x
)
=
v
i
(
0
)
+
x
j
∂
v
i
∂
x
j
(
0
)
=
v
i
+
v
j
i
x
j
{\displaystyle v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}}
在这个x 坐标中，在一点的1阶射流可以和实数的列表
(
v
i
,
v
j
i
)
{\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}
vi )等同起来是一样的。在特定的坐标变换的变换法则之下，我们必须知道该变换如何影响这个列表
(
v
i
,
v
j
i
)
{\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}
因此我们考虑变换到另一个坐标系y i wk 为向量场v 在y 坐标中的表示。则在y 坐标系中，v 的一阶射流是新的实数列表
(
w
i
,
w
j
i
)
{\displaystyle (w^{i},w_{j}^{i})}
v
=
w
k
(
y
)
∂
/
∂
y
k
=
v
i
(
x
)
∂
/
∂
x
i
,
{\displaystyle v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i},}
我们有
w
k
(
y
)
=
v
i
(
x
)
∂
y
k
∂
x
i
(
x
)
.
{\displaystyle w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).}
所以
w
k
(
0
)
+
y
j
∂
w
k
∂
y
j
(
0
)
=
(
v
i
(
0
)
+
x
j
∂
v
i
∂
x
j
)
∂
y
k
∂
x
i
(
x
)
{\displaystyle w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)}
用泰勒级数展开，我们有
w
k
=
∂
y
k
∂
x
i
(
0
)
v
i
{\displaystyle w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(0)v^{i}}
w
j
k
=
v
i
∂
2
y
k
∂
x
i
∂
x
j
+
v
j
i
∂
y
k
∂
x
i
.
{\displaystyle w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.}
注意变换法则在坐标变换函数中也是二阶的。 参看微分算子#坐标无关表述 。
Ehresmann, C., "Introduction a la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de mathcal{L}." Geometrie Differentielle, Colloq. Inter. du Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Strasbourg, 1953, 97-127.
Kolár(, I., Michor, P., Slovák, J., Natural operations in differential geometry. （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .
Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
Bocharov, A.V. [et al.], "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
Olver, P.J., "Equivalence, Invariants and Symmetry", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1 
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![{\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae48e6d04effad9c23264ba2f40e44d4fa4cc41)
![{\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z]/(z^{k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30603b9c6da8e56e2c59f834aebeb6a51eb0e91)
