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射流 (數學) 」標題相近或相同的條目，請見「
射流 」。
射流 ，也稱節 （英語：Jet ）在數學中是指取一個可微函數 f 並在其定義域的每一點產生一個多項式 ，也就是f 的截尾泰勒多項式 的操作。雖然這是一個射流的定義，射流理論將這些多項式作為抽象多項式 而不是多項式函數。
本節集中描述在一點的一個函數的射流的兩種不同的嚴格定義，之後討論泰勒定理。這些定義在給出在兩個流形之間的射流的內蘊定義中是很有用的。
如下的定義採用了數學分析 中定義射流和射流空間的思想。它可以推廣到巴拿赫空間 之間的光滑函數 、實或復域 之間的解析函數 、p進分析 、或是其它的分析領域。
令
C
∞
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
k 為非負整數，並令p 為
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
f 和g 等價如果f 和g 在p 有相同的值，並且所有它們的偏導數 等價到k 階，若f 和g 在p 數值相同，並且它們直到p 階的偏導數全部相同。
k 階射流空間
C
∞
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
p 定義為
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
光滑函數
f
∈
C
∞
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
k 階射流定義為f 在
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
如下定義採用代數幾何 和交換代數 中的思想來建立射流和射流空間的概念。雖然這個定義不太適合代數幾何本身，因為它屬於光滑範疇，但也很容易修改為適合代數幾何的使用的形式。
令
C
∞
(
R
p
n
,
R
m
)
{\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }_{p}^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
光滑函數
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
p 的芽 的向量空間 。令
m
p
{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}
p 為零的函數的理想。(這是局部環
C
∞
(
R
p
n
,
R
m
)
{\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }_{p}^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
極大理想 。)則理想
m
p
k
+
1
{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}
p 直到k 階導數全部為零的函數的芽組成。現在我們可以定義p 點的射流空間 為
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
=
C
∞
(
R
p
n
,
R
m
)
/
m
p
k
+
1
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C^{\infty }({\mathbb {R} }_{p}^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}
若
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
f 在p 的k 階射流為
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
J
p
k
f
=
f
(
mod
m
p
k
+
1
)
{\displaystyle J_{p}^{k}f=f\ ({\hbox{mod}}\ {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1})}
不管怎樣定義，泰勒定理建立了向量空間
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
R
m
[
z
]
/
(
z
k
+
1
)
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z]/(z^{k+1})}
我們定義了位於一點
p
∈
R
n
{\displaystyle p\in {\mathbb {R} }^{n}}
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
f (p )=q 的函數f 的射流組成的子空間記為
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
q
=
{
J
k
f
∈
J
p
k
(
R
n
,
R
m
)
|
f
(
p
)
=
q
}
{\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})|f(p)=q\right\}}
若M 和N 是兩個光滑流形 ，我們如何定義函數
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
M 和N 上的局部坐標 來定義。這個方法的缺點是流形不能在這種方式下以等變 的形式來定義。射流不像張量 那樣變換。實際上，兩個流形間的函數的射流屬於一個射流叢 。
本節先引入從實直線到流形的函數的射流的概念。然後，證明這樣的射流構成一個纖維叢 ，和切叢 類似，它也是一個射流叢 的一個伴隨叢。接下來，討論定義兩個光滑流形間的函數的射流的問題。在整節中，我們全部採用分析方法。雖然代數幾何方法在很多應用中更合適，因其過於微妙不便於在此系統論述。細節請參看射流 (代數幾何) 。
假設M 為一個光滑流形，p 為其中一點。我們來定義穿過p 的曲線 的射流，我們所指的曲線也即使得f (0)=p 的光滑函數
f
:
R
→
M
{\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow M}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
f 和g 為一對穿過p 的曲線。我們稱f 和g 在p 為k 階等價，如果存在p 的某個鄰域 U ，使得對於每個光滑函數
φ
:
U
→
R
{\displaystyle \varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }}
J
0
k
(
φ
∘
f
)
=
J
0
k
(
φ
∘
g
)
{\displaystyle J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)}
φ
∘
f
{\displaystyle \varphi \circ f}
φ
∘
g
{\displaystyle \varphi \circ g}
p 的曲線的k 階相切 。
現在我們定義k 階射流空間
J
0
k
(
R
,
M
)
p
{\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
p 的曲線構成的等價類。曲線f 穿過p 的k 階射流定義為f 所屬的等價類，記為
J
k
f
{\displaystyle J^{k}f}
J
0
k
f
{\displaystyle J_{0}^{k}f}
這構成了一個實向量空間。隨著p 在M 中變化，
J
0
k
(
R
,
M
)
p
{\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
M 上的一個纖維叢 :k 階切叢 ，經常記為T k M （雖然這個記號有時會導致混淆）。在k =1時，一階切叢就是通常的切叢：T 1 M =TM 。
要證明T k M 實際上構成一個纖維叢，我們需要查看一下
J
0
k
(
R
,
M
)
p
{\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
x i x 1 x n M 在p 的鄰域U 中的一個局部坐標系。稍微濫用記號 一下，我們可以視(x i 微分同胚
(
x
i
)
:
M
→
R
n
{\displaystyle (x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
斷言： 穿過p 的兩條曲線f 和g 以
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
若且唯若
J
0
k
(
(
x
i
)
∘
f
)
=
J
0
k
(
(
x
i
)
∘
g
)
{\displaystyle J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)}
p 的某個鄰域
U
⊂
V
{\displaystyle U\subset V}
顯然，僅當 這部分很清楚，因為這n 的函數x 1 x n M 到
R
{\displaystyle {\mathbb {R} }}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
J
0
k
(
x
i
∘
f
)
=
J
0
k
(
x
i
∘
g
)
{\displaystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)}
反過來，假設φ是一個M 上在p 的一個鄰域內的光滑實值函數。因為每個光滑函數有一個局部坐標表達式，我們可以將φ表達為坐標的函數。精確地講，假設Q 是M 中接近 p 的一點，則
φ
(
Q
)
=
ψ
(
x
1
(
Q
)
,
…
,
x
n
(
Q
)
)
{\displaystyle \varphi (Q)=\psi (x_{1}(Q),\dots ,x_{n}(Q))}
對於某個n 個實變量的光滑實值函數ψ成立。因此，對於穿過p 的曲線f 和g ，我們有
φ
∘
f
=
ψ
(
x
1
∘
f
,
…
,
x
n
∘
f
)
{\displaystyle \varphi \circ f=\psi (x_{1}\circ f,\dots ,x_{n}\circ f)}
φ
∘
g
=
ψ
(
x
1
∘
g
,
…
,
x
n
∘
g
)
{\displaystyle \varphi \circ g=\psi (x_{1}\circ g,\dots ,x_{n}\circ g)}
從鏈式法則即可得到斷言中當 的部分。例如，若f 和g 是實變量t 的函數，則
d
d
t
(
ψ
∘
f
)
(
t
)
|
t
=
0
=
∑
i
=
1
n
d
d
t
(
x
i
∘
f
)
(
t
)
|
t
=
0
(
D
i
ψ
)
∘
f
(
0
)
{\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\left(\psi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x_{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)}
這和同樣的表達式中用g 代替f 計算有相同的值，因為f (0)=g (0)=p並且f 和g 在坐標系(x i k 階相切。 因此，這個表面上的纖維叢T k M 確實有每個坐標鄰域中的局部平凡化。至此，要證明這個表面上的纖維叢是真正的纖維叢，只需證明它在坐標變換下有非奇異的變換函數。令
(
y
i
)
:
M
→
R
n
{\displaystyle (y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}
ρ
=
(
x
i
)
∘
(
y
i
)
−
1
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}
坐標變換 微分同胚。通過
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
仿射變換 ，我們可以不失一般性 地假設ρ(0)=0。在該假設下，只要證明
J
0
k
ρ
:
J
0
k
(
R
n
,
R
n
)
→
J
0
k
(
R
n
,
R
n
)
{\displaystyle J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})}
射流群 。）但是由於ρ是微分同胚，
ρ
−
1
{\displaystyle \rho ^{-1}}
I
=
J
0
k
I
=
J
0
k
(
ρ
∘
ρ
−
1
)
=
J
0
k
(
ρ
)
∘
J
0
k
(
ρ
−
1
)
{\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})}
這表明
J
0
k
ρ
{\displaystyle J_{0}^{k}\rho }
直觀的來講，這意味著我們可以用M 上的局部坐標中的泰勒級數來表達一個曲線的射流。
局部坐標中的例子：
如前所示，通過p 的一條曲線的1階射流就是一個切向量。在p 的一個切向量就是一個一階微分算子 ，它作用於p 點的光滑實值函數。在局部坐標中，每個切向量有如下形式
v
=
∑
i
v
i
∂
∂
x
i
{\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
給定這樣的一個切向量v ，令f 為在坐標系x i
x
i
∘
f
(
t
)
=
t
v
i
{\displaystyle x^{i}\circ f(t)=tv^{i}}
p 的一個鄰域中的光滑函數，且φ(p )=0，則
φ
∘
f
:
R
→
R
{\displaystyle \varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}
是一個光滑實值單變量函數，其1階射流如下
J
0
1
(
φ
∘
f
)
(
t
)
=
t
v
i
∂
f
∂
x
i
(
p
)
{\displaystyle J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=tv^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)}
這表明，可以自然地將切向量和過該點的曲線的1階射流等同起來。 在以點p 為中心的局部坐標系xi 中，我們可以將曲線f (t )的二階泰勒多項式表達如下
x
i
(
t
)
=
t
d
x
i
d
t
(
0
)
+
t
2
2
d
2
x
i
d
t
2
.
{\displaystyle x^{i}(t)=t{\frac {dx^{i}}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}.}
所以在這個x 坐標系中，過p 的曲線的2階射流可以等同為一個實數的列表
(
x
˙
i
,
x
¨
i
)
{\displaystyle ({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})}
令(y i
d
d
t
y
i
(
x
(
t
)
)
=
∂
y
i
∂
x
j
(
x
(
t
)
)
d
x
j
d
t
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}y^{i}(x(t))={\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(x(t)){\frac {dx^{j}}{dt}}(t)}
d
2
d
t
2
y
i
(
x
(
t
)
)
=
∂
2
y
i
∂
x
j
∂
x
k
(
x
(
t
)
)
d
x
j
d
t
(
t
)
d
x
k
d
t
(
t
)
+
∂
y
i
∂
x
j
(
x
(
t
)
)
d
2
x
j
d
t
2
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(x(t))={\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(x(t)){\frac {dx^{j}}{dt}}(t){\frac {dx^{k}}{dt}}(t)+{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(x(t)){\frac {d^{2}x^{j}}{dt^{2}}}(t)}
因此，變換通過在t =0計算如下兩個表達式給出。
y
˙
i
=
∂
y
i
∂
x
j
(
0
)
x
˙
j
{\displaystyle {\dot {y}}^{i}={\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}}
y
¨
i
=
∂
2
y
i
∂
x
j
∂
x
k
(
0
)
x
˙
j
x
˙
k
+
∂
y
i
∂
x
j
(
0
)
x
¨
k
.
{\displaystyle {\ddot {y}}^{i}={\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{k}.}
注意，二階射流的變化法則在坐標變換函數中是二階的。 現在可以定義從流形到流形的函數的射流了。
設M 和N 為兩個光滑流形。令p 為M 一點。考慮由定義在p 的某個鄰域中的光滑映射
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
C
p
∞
(
M
,
N
)
{\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}
C
p
∞
(
M
,
N
)
{\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
f 和g 稱為等價 的，若對於每條穿過p 的曲線γ（按此處常規，這表示一個使得
γ
(
0
)
=
p
{\displaystyle \gamma (0)=p}
γ
:
R
→
M
{\displaystyle \gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M}
p 的某個領域上有
J
0
k
(
f
∘
γ
)
=
J
0
k
(
g
∘
γ
)
{\displaystyle J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}
J
p
k
(
M
,
N
)
{\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}
C
p
∞
(
M
,
N
)
{\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
N 不需要有代數結構，
J
p
k
(
M
,
N
)
{\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}
若
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
p 附近的光滑函數，則我們定義f 在p 的k 階射流
J
p
k
f
{\displaystyle J_{p}^{k}f}
f 以
E
p
k
{\displaystyle E_{p}^{k}}
本節討論向量叢 的局部截面的射流的概念。所有本節的內容可以在做適當的改動後推廣到纖維叢 、巴拿赫流形 上的巴拿赫叢 、纖維化流形 、或者概形 上的准一致層 的局部截面的情況。而且，這些例子只是可以作的推廣的一部分而已。
設E 為流形M 上的有限維光滑向量叢，其投影為
π
:
E
→
M
{\displaystyle \pi :E\rightarrow M}
E 的截面為滿足
π
∘
s
{\displaystyle \pi \circ s}
M 上的恆等自同構 的光滑函數
s
:
M
→
E
{\displaystyle s:M\rightarrow E}
s 在p 的一個鄰域上的射流就是從M 到E 的光滑函數在點p 的射流。
這些在點p 的射流的空間記為
J
p
k
(
M
,
E
)
{\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}
和從流形到另一流形的函數的射流不同，在p 的截面的射流有繼承自截面本身的向量空間結構的向量空間結構。隨著p 在M 上變化，射流空間
J
p
k
(
M
,
E
)
{\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}
M 上的叢，也就是E 的k 階射流叢 ，記為J k E )。
我們採用一點的局部坐標。考慮一個向量場
v
=
v
i
(
x
)
∂
/
∂
x
i
{\displaystyle v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}}
在M 中點p 的一個鄰域。v 的一階射流可以通過取向量場的係數的一階泰勒多項式得到：
v
i
(
x
)
=
v
i
(
0
)
+
x
j
∂
v
i
∂
x
j
(
0
)
=
v
i
+
v
j
i
x
j
{\displaystyle v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}}
在這個x 坐標中，在一點的1階射流可以和實數的列表
(
v
i
,
v
j
i
)
{\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}
vi )等同起來是一樣的。在特定的坐標變換的變換法則之下，我們必須知道該變換如何影響這個列表
(
v
i
,
v
j
i
)
{\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}
因此我們考慮變換到另一個坐標系y i wk 為向量場v 在y 坐標中的表示。則在y 坐標系中，v 的一階射流是新的實數列表
(
w
i
,
w
j
i
)
{\displaystyle (w^{i},w_{j}^{i})}
v
=
w
k
(
y
)
∂
/
∂
y
k
=
v
i
(
x
)
∂
/
∂
x
i
,
{\displaystyle v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i},}
我們有
w
k
(
y
)
=
v
i
(
x
)
∂
y
k
∂
x
i
(
x
)
.
{\displaystyle w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).}
所以
w
k
(
0
)
+
y
j
∂
w
k
∂
y
j
(
0
)
=
(
v
i
(
0
)
+
x
j
∂
v
i
∂
x
j
)
∂
y
k
∂
x
i
(
x
)
{\displaystyle w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)}
用泰勒級數展開，我們有
w
k
=
∂
y
k
∂
x
i
(
0
)
v
i
{\displaystyle w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(0)v^{i}}
w
j
k
=
v
i
∂
2
y
k
∂
x
i
∂
x
j
+
v
j
i
∂
y
k
∂
x
i
.
{\displaystyle w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.}
注意變換法則在坐標變換函數中也是二階的。 參看微分算子#坐標無關表述 。
Ehresmann, C., "Introduction a la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de mathcal{L}." Geometrie Differentielle, Colloq. Inter. du Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Strasbourg, 1953, 97-127.
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Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
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![{\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae48e6d04effad9c23264ba2f40e44d4fa4cc41)
![{\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z]/(z^{k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30603b9c6da8e56e2c59f834aebeb6a51eb0e91)
