莫雷角三分线定理
在欧几里得几何中,莫雷角三分线定理(Morley's theorem)说明对所有的三角形,其三个内角作角三分线,靠近公共边三分线的三个交点,是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线,也会有类似的性质,可以再作出4个等边三角形。
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证明
编辑引理
编辑引理证明
编辑定理证明
编辑在 中:
- 是 的三等分角
- 是 的三等分角
- 是 的三等分角
作6条角三分线分别为 、 、 、 、 、 ,作 、 、 在 上,且 、
容易得出 ,由此等式还可以得出以下三式:
由正弦定理可得出:
从这里可以得出 的三个内角,计算出 和 的正弦值:
我们知道:
从引理我们可以得出:
化简后得出:
因为 和 相似,所以可得出:
同理可得出:
综合以上结果,可得出 ,因此 是等边三角形
推广
编辑更一般的莫雷角三分线定理由Taylor和Marr于1914年发表,将6条角三分线顺时钟和逆时钟旋转120°,其交点共可得出27个不同的等边三角形。
参见
编辑参考资料
编辑- Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.
- Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Morleys Theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆) MathWorld
- Morley's Trisection Theorem MathPages