萨哈电离方程

萨哈电离方程（Saha ionization equation），又称为萨哈-朗缪尔方程（Saha-Langmuir equation），用于描述原子的离子化状态与温度和压力之间的关系的表达式，由印度物理学家梅格纳德·萨哈（1920年）和欧文·朗缪尔（1923年）发现。这个方程的一个最重要的应用，是解释恒星的光谱分类。该方程是结合量子力学和统计力学的想法的结果。

推导

对于足够高的温度下的气体，原子之间的碰撞将使某些原子电离。通常束缚于原子的一个或更多个电子将从原子射出来，形成一团电子气体，与电离的原子和中性原子的气体共存。这个状态称为等离子体。萨哈方程把这个等离子体的电离程度用温度、密度和原子的电离能的函数来描述。该方程只对德拜长度较大的等离子体成立。这就是说，离子和电子对其它离子和电子的库仑电荷的屏蔽是可以忽略的。因此，随后的电离势的下降，以及配分函数的“截止”也是可以忽略的。

对于由一种原子所组成的气体，萨哈方程为：

${\frac {n_{i+1}n_{e}}{n_{i}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\epsilon _{i+1}-\epsilon _{i})}{k_{B}T}}\right]$

其中：

• $n_{i}\,$是第i个电离状态中的原子密度，也就是说，原子失去了i个电子；
• $g_{i}\,$是i-离子的状态的简并度；
• $\epsilon _{i}\,$是中性原子失去i个电子，形成一个i级离子所需要的能量；
• $n_{e}\,$是电子密度；
• $\Lambda \,$是电子的热德布罗意波长；

$\Lambda \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {h^{2}}{2\pi m_{e}k_{B}T}}}$

• $m_{e}\,$是电子质量；
• $T\,$是气体的温度；
• $k_{B}\,$是玻尔兹曼常数；
• $h\,$是普朗克常数。

在只有一级电离是重要的情况下，我们有$n_{1}=n_{e}$，并定义总密度n 为$n=n_{0}+n_{1}$，于是萨哈方程简化为：

${\frac {n_{e}^{2}}{n-n_{e}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\epsilon }{k_{B}T}}\right]$

其中$\epsilon$是电离能。

粒子密度

萨哈方程对于决定两个不同的电离级的粒子密度之比是很有用的。为了这个目的，它最有用的形式为：

${\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}}$,

其中Z表示配分函数。萨哈方程可以视为化学势的平衡条件的一个重述：

$\mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}\,$

这个方程仅仅说明一个电离状态为i的原子的电势，与一个电子和一个电离状态为i+1的原子的电势是相等的；因此系统处于平衡，不会出现净电离变化。

参考文献

• 来自犹他大学物理学系的一个详细的推导 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 来自马里兰大学天文学系的讲稿
• Saha, Megh Nad; On a Physical Theory of Stellar Spectra （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135–153
• Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148–160