布丰投针问题
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布丰投针问题(法语:Aiguille de Buffon,又译“蒲丰投针问题”),是法国学者布丰于18世纪提出的一个数学问题:[1]
设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板(如右图),现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针,求针和其中一条木纹相交的概率。
解法
编辑设针的长度是 ,平行线之间的距离为 , 为针的中心和最近的平行线的距离, 为针和线之间的锐角。
且均匀分布,其概率密度函数为 。
两个随机变量互相独立,因此两者结合的概率密度函数只是两者的积:
当 ,针和线相交,然后对 积分得出所求概率。
要求上式的积分需要分为两种情况:“短针” 以及“长针” ;以下考虑“短针”情况,计算上式积分得针与线相交的概率:
作简单变换可得 ,
当抛 支针,其中有 支针与线相交,利用多次重复试验所观察事件发生的频率越来越接近概率的理论值 。
近似可得
拉扎里尼的估计
编辑1901年,意大利数学家马里奥·拉扎里尼(Mario Lazzarini)尝试进行此实验。他抛了3408次针,得到π的近似值为355/113。
拉扎里尼选取了一支长度是纹的距离的5/6的针。在这个情况,针和纹相交的机会是5/(3π)。如果想抛n次针而得到x次相交,π约等于 。分母、分子少于五位数字,没有比355/113更好的π的近似值了。因此,可以列式 ,得 。
为求x的值接近这个数,可以重复抛213次针,若有113次是成功的,便可终止实验,宣布这个方法求π值准确度不低;否则,就再抛213次针,希望共有226次成功……这次反复进行实验。拉扎里尼做了 次。
参见
编辑参考文献
编辑- ^ Histoire de l'Acad. Roy. des. Sciences (1733), 43–45; Histoire naturelle, générale et particulière Supplément 4 (1777), p. 46.
- ^ Behrends, Ehrhard. Buffon: Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht? (PDF). [14 March 2015]. (原始内容存档 (PDF)于2014-08-02).
外部链接
编辑- Buffon's Needle Problem (页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
- Math Surprises: Buffon's Noodle (页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
- MSTE: Buffon's Needle (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Buffon's Needle Java Applet (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Estimating PI Visualization (Flash) (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation) (页面存档备份,存于互联网档案馆) at slideshare
- Animations for the Simulation of Buffon's Needle (页面存档备份,存于互联网档案馆) by Yihui Xie using the R package animation
- 3D Physical Animation (页面存档备份,存于互联网档案馆) by Jeffrey Ventrella
- Padilla, Tony. Π Pi and Buffon's Needle. Numberphile. Brady Haran. [2013-04-09]. (原始内容存档于2013-05-17).