虚功

(重定向自虛功法

分析力学里,施加于某物体的作用力,由于给定的虚位移,所做的机械功,称为虚功(英语:virtual work)。以方程表达,虚功

粒子的运动轨道与虚轨道分别为。在位置、时间,虚位移为。两种轨道的初始位置与终止位置分别为

其中,是作用力,是虚位移。

在这篇文章里,位移指的是平移运动所造成的位移或旋转运动所造成的角位移;作用力指的是力量或力矩。虚位移不是实际的位移,而是一种虚构的、理论上的位移,是一种只涉及位置,不涉及时间的变化。每一个虚位移既是自变量independent variable),又是任意设定的。任意性是一个很重要的特性,在数学关系式里,能够推导出许多重要的结果。例如,思考下述矩阵方程:

其中,都是矢量方块矩阵

假若,是个任意非零矢量,则可以将任意项目从方程中除去,得到

虚功原理

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虚功原理阐明,一个物理系统处于静态平衡static equilibrium),当且仅当,所有施加的外力,经过符合约束条件的虚位移,所做的虚功的总和等于零[1][2]。以方程表达,

 

考虑一个由一群质点组成,呈静态平衡的物理系统,其内部任意一个质点 可能感受到很多个作用力。这些作用力的总和 等于零:

 

给予这质点  虚位移 ,则合力 所做的虚功 为零:

 

总合这系统内做于每一个质点的虚功,其答案也是零:

 

将合力细分为外力 约束力 

 

假设所有约束力所做的符合约束条件的虚功,其总合是零[3]

 

则约束力项目可以从方程中除去,从而得到虚功原理的方程:

 

注意到这推论里的约束力假设。在这里,约束力就是牛顿第三定律反作用力。因此,可以称此假设为反作用力的虚功假设:所有反作用力所做的符合约束条件的虚功,其总合是零。这是分析力学额外设立的假设,无法从牛顿运动定律推导出来[1]

动力学里,虚功原理会被推广为达朗贝尔原理。这原理是拉格朗日力学的理论基础。更详尽细节,请参阅相关条目。

适用案例

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在此特别列出几个案例,展示出约束力所做的符合约束条件的虚功的总合是零:

  • 刚体的约束条件是一种完整约束,以方程表达, ;其中,刚体内部的质点  的位置分别为  ,它们之间的距离 是个常数。所以,两个质点的虚位移  之间的关系为
 
在这里,有两种可能的状况:
1、 
对于这状况,由于 ,两个作用力所做的虚功相互抵销,也就是说,
 
所以,约束力所做的虚功的总合是零。
2、  :
由于 
 
所以,约束力所做的虚功的总合是零。
所以,在刚体内,质点与质点之间的约束力所作的虚功的总合是零。
  • 思考置放于平滑地面上的一块木块。因为木块的重量,而产生的反作用力,是地面施加于木块的一种约束力。注意到对于这案例,符合约束条件的虚位移必须与地面平行,所以,地面施加的约束力垂直于虚位移,它所作的虚功等于零。[3]

在位形空间的意义

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将一般的作用力和坐标分别变换为以广义力 广义坐标 表达,

 

设定一个 位形空间,其坐标为 ,其内中表示位置的点称为位形点。想像这物理系统移动于这位形空间。在这位形空间里,广义力 垂直于符合约束条件的虚位移 

假设,这物理系统没有任何约束条件,则虚位移可以是任意矢量。但是,广义力 不可能垂直于 维位形空间里的每一个矢量,所以,广义力 必须等于零。

假设,这物理系统有 个约束条件,则自由度为 ,位形点必需处于位形空间的某 子空间,而广义力 必须垂直于这子空间,因此必需使用 个运动方程来表达这物理系统。

保守系统

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假设这系统是保守系统,则每一个广义力都是标量广义位势函数 的对于其对应的广义坐标的负偏导数

 

虚功与广义位势的关系为

 

由于位势的变分 等于零,一个静态平衡系统的位势 乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设,要求这系统处于稳定状态,则位势 必须是个局域极小值

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Lanczos, Cornelius, The Variational Principles of Mechanics, Dovers Publications, Inc: pp. 74–87, 1970, ISBN 978-0-486-65067-8 
  2. ^ Torby, Bruce, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing: pp. 263, 1984, ISBN 0-03-063366-4 (英语) 
  3. ^ 3.0 3.1 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 (英语). 

外部链接

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