西姆松定理

(重定向自西姆松線

西姆松定理(或译西摩松定理西姆森定理)是几何学中的一个定理,此定理描述:在平面中,给定一个三角形 ,以及 外接圆上的一点。则 分别对直线 作的三个垂足(右图中的 )会共线

蓝线(LM)为三角形 ABC 关于其外接圆上点 P 的西姆松线

上述中的直线 称为 关于 点的西姆松线(英语:Simson line,或译西摩松线西姆森线

逆定理

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西姆松定理逆叙述也是正确的,其描述:给定平面中的 及一点 。若 三边延长线的三个垂足共线,则 的外接圆上。

相关性质

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  • 的垂心为H。则 关于 的西姆松线和 的交点为 的中点,且此中点在九点圆上。
  • 两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
  • 若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关。

西姆松定理与西姆松的关系

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西姆松定理命名自苏格兰数学家 Robert Simson,然而西姆松是被误认为定理的贡献者[1],此定理实则由另一位苏格兰数学家威廉·华莱士所发表[2]

证明

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如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆,则角PBN = 角PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三点共线。

参见

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外部链接

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参考资料

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  1. ^ THE WRITER OF THE NOTICE. Simson's Line. Nature. 30 October 1884 [2023-08-13]. doi:10.1038/030635a0. 
  2. ^ William Wallace. MacTutor History of Mathematics archive.