西尔维斯特方程

西尔维斯特方程（英语：Sylvester equation）是控制理论中的矩阵方程，形式如下：

$AX+XB=C.$

其中$A_{n\times n}$、$B_{m\times m}$及$C_{n\times m}$是已知矩阵，n与m可以相等。方程中所有矩阵的系数都是复数。西尔维斯特方程有唯一解X的充要条件是A与-B没有共同的特征值。

AX+XB=C也可以视为是（可能无穷维中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要条件几乎相同：唯一解X的充份必要条件是A和-B的谱不互交。

解的存在及唯一

利用克罗内克积以及向量化量子$\operatorname {vec}$，可以改写西尔维斯特方程为

$(I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,$

其中$I_{k}$为$k\times k$单位矩阵。在此形式下，可以将问题改为$mn\times mn$维的线性系统。

命题

假定复数的$n\times n$矩阵$A$和$B$，西尔维斯特方程针对任意$C$有唯一解$X$，若且唯 若$A$和$-B$没有共同的特征值。

证明

考虑线性转换$S:M_{n}\rightarrow M_{n}$，$X\mapsto AX+XB$.

(i)假设$A$和$-B$没有共同的特征值，则其特征方程式 $f(z)$和$g(z)$的最大公因式为$1$，因此存在复数多项式$p(z)$和$q(z)$，使得$p(z)f(z)+q(z)g(z)=1$。依照Cayley–Hamilton定理，$f(A)=0=g(-B)$；因此$g(A)q(A)=I$。令$X$为$S(X)=0$的解，则$AX=-XB$，重复上述作法，可得$X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0$。因此依照秩－零化度定理，$S$是可逆的，因此针对所有的$C$都存在唯一的解$X$。

(ii) 相对的，若假设$s$是$A$和$-B$的共同特征值，则${\bar {s}}$也是$A^{H}$的特征值。存在非零向量 $v$和$w$使得$A^{H}w={\bar {s}}w$以及$Bv=-sv$。选择$C$使得$Cv=w$，则$AX+XB=C$没有解$X$，考虑 $\langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle w,w\rangle$，等号的右边为正值；而左侧因为伴随变换的性质为零,即 $\langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Xv,A^{H}w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =s\langle Xv,w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =0$。

Roth消去法则

假设二个大小分别为n和m的方阵A和B，以及大小为n乘m的矩阵C，则可以确认以下二个大小为n+m的方阵${\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}$和${\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}$是否彼此相似。这二个矩阵相似的条件是存在一矩阵X使得AX-XB=C，换句话说，X为西尔维斯特方程的解，这称为Roth消去法则（Roth's removal rule）。

可以用以下方式检查，若AX-XB=C，则

${\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.$

Roth消去法则无法延伸到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中。

数值解

西尔维斯特方程数值解的经典算法是Bartels–Stewart算法，利用QR算法将矩阵$A$和矩阵$B$转换为舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此算法若用LAPACK计算，或是GNU Octave的lyap函数计算，计算复杂度是${\mathcal {O}}(n^{3})$个数学运算。也可以参考其中的sylvester函数。在一些特定的影像处理应用中，西尔维斯特方程会有解析解。

相关条目

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• 代数Riccati方程

参考资料

• Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
• Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828. 
• Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034. 
• Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 
• Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. 1965: 213, 299.