西爾維斯特方程

西爾維斯特方程(英語:Sylvester equation)是控制理論中的矩陣方程,形式如下[1]

其中是已知矩陣,n與m可以相等。方程中所有矩陣的系數都是複數。西爾維斯特方程有唯一解X的充要條件是A-B沒有共同的特徵值。

AX+XB=C也可以視為是(可能無窮維中)巴拿赫空間有界算子的方程。此情形下,唯一解X的充份必要條件幾乎相同:唯一解X的充份必要條件是A-B不互交[2]

解的存在及唯一

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利用克羅內克積以及向量化量子英語Vectorization (mathematics) ,可以改寫西爾維斯特方程為

 

其中  單位矩陣。在此形式下,可以將問題改為 維的線性系統[3]

命題

假定複數的 矩陣  ,西爾維斯特方程針對任意 有唯一解 ,若且唯 若  沒有共同的特徵值。

證明

考慮線性轉換  .

(i)假設  沒有共同的特徵值,則其特徵方程式   的最大公因式為 ,因此存在複數多項式  ,使得 。依照Cayley–Hamilton定理, ;因此 。令  的解,則 ,重複上述作法,可得 。因此依照秩-零化度定理 是可逆的,因此針對所有的 都存在唯一的解 

(ii) 相對的,若假設   的共同特徵值,則 也是 的特徵值。存在非零向量   使得 以及 。選擇 使得 ,則 沒有解 ,考慮  ,等號的右邊為正值;而左側因為伴隨變換的性質為零,即  

Roth消去法則

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假設二個大小分別為nm的方陣AB,以及大小為nm的矩陣C,則可以確認以下二個大小為n+m的方陣  是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C,換句話說,X為西爾維斯特方程的解,這稱為Roth消去法則(Roth's removal rule)[4]

可以用以下方式檢查,若AX-XB=C,則

 

Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中[5]

數值解

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西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法,利用QR演算法英語QR algorithm將矩陣 和矩陣 轉換為舒爾形式,再用逆向取代法求解三角矩陣。此演算法若用LAPACK計算,或是GNU Octavelyap函數計算[6],計算複雜度是 個數學運算[來源請求]。也可以參考其中的sylvester函數[7][8]。在一些特定的影像處理應用中,西爾維斯特方程會有解析解[9]

相關條目

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腳註

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  1. ^ 不過也常寫成等效的AX-XB=C.
  2. ^ Bhatia and Rosenthal, 1997
  3. ^ 不過若是要算其數值解,不建議寫成此形式,因為求解的計算量很高,而且可能會是病態方程
  4. ^ Gerrish, F; Ward, A.G.B. Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule. The Mathematical Gazette. Nov 1998, 82 (495): 423–430. doi:10.2307/3619888. 
  5. ^ Bhatia and Rosenthal, p.3
  6. ^ 存档副本. [2017-12-27]. (原始內容存檔於2018-11-14). 
  7. ^ 存档副本. [2017-12-27]. (原始內容存檔於2018-02-12). 
  8. ^ The syl command is deprecated since GNU Octave Version 4.0
  9. ^ Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 

參考資料

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  • Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116. 
  • Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
  • Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828. 
  • Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034. 
  • Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 
  • Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. 1965: 213, 299.