相亲数

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相亲数(Amicable numbers),又称亲和数友爱数友好数,指两个正整数中,彼此的全部正约数之和(本身除外)与另一方相等。毕达哥拉斯曾说:“朋友是你灵魂的倩影,要像220284一样亲密。”

每一对亲和数都是过剩数亏数,较小的是过剩数,较大的是亏数

例如220与284:

  • 220的全部正因数(除掉本身)相加是:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
  • 284的全部正因数(除掉本身)相加的和是:1+2+4+71+142=220

亲和数中可轻易推出,一方的全部正约数之和与另一方的全部正约数之和相等。(此叙述不可逆,不能用来判断是否为亲和数)

  • 220的全部正约数之和是:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220 = 284+220 = 504
  • 284的全部正约数之和是:1+2+4+71+142+284 = 220+284 = 504

前十个相亲数是:(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564),(6232,6368),(10744,10856),(12285,14595), (17296,18416),(63020,76084)和(66928,66992)……(OEIS数列A259180)。 (另见OEISA002025OEISA002046

历史

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  • 320年左右,古希腊毕达哥拉斯发现的220与284,是人类认识的第一对相亲数.
  • 约850年,阿拉伯数学家塔别脱·本·科拉就发现了相亲数公式,后来称为塔别脱·本·科拉法则。
  • 1636年,费马发现了另一对相亲数:17296和18416。
  • 1638年,笛卡儿也发现了一对相亲数:9363584和9437056。
  • 欧拉也研究过相亲数这个课题。1750年,他一口气向公众抛出了60对相亲数:2620和2924,5020和5564,6232和6368,……,从而引起了轰动。
  • 1866年,年方16岁的意大利青年巴格尼尼(并非小提琴演奏家、作曲家的帕格尼尼)发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。
  • 目前,人们已找到了12,000,000多对相亲数。但相亲数是否有无穷多对,相亲数的两个数是否都是或同是奇数,或同是偶数,而没有一奇一偶等,这些问题还有待继续探索。

寻找方法

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欧拉法则

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对于正整数     。若 均为素数,则  是相亲数。这个法则能找出符合亲和数的数对 ,但 时没有其他符合的数对。

塔别脱·本·科拉法则

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这是欧拉法则 的特殊情况:第 塔别脱·本·科拉数 。若   均为素数,则  是相亲数。

其他

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  • 在目前所有已知的情况下,相亲数皆同为偶数或同为奇数。目前不知道一奇一偶的相亲数是否存在,但若存在,则偶数必须为完全平方数或其两倍,且奇数也必须是完全平方数
  • 目前已知存在7对具有不同的最小素因数的相亲数。[1]
  • 在目前所有已知的情况下,相亲数皆具有质公约数。目前不知道是否存在互素的相亲数。若存在,两者乘积必大于1067.[来源请求]
  • 1955年,埃尔德什·帕尔(PaulErdős)说明相亲数相对于正整数的密度为0。[2]

参看

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延伸阅读

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  1. ^ Amicable pairs news. [2022-11-21]. (原始内容存档于2021-07-18). 
  2. ^ Erdős, Paul. On amicable numbers (PDF). Publicationes Mathematicae Debrecen. 1955, 4: 108–111. (原始内容存档 (PDF)于2022-10-09).