经典力学方程列表

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经典力学物理学描述宏观物体运动的分支。[1]是最熟悉的物理学理论。涵盖如常用和已知的加速度[2]本列表基于具固定轴的三维欧几里得空间参考系。三轴的交点称为此空间的原点[3]

经典力学概念包括微分方程流形李群遍历理论。各种物理量相互关联[4]。本列表总结了其中最重要的内容。

本文列出了牛顿力学的方程,有关经典力学(包括拉格朗日力学哈密顿力学)的更一般公式,请参阅分析力学

经典力学

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质量与惯量

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通用名 通用符号 定义 国际单位制 量纲
线/表面/体积质量密度 λ或μ用于线密度(μ主要用在声学),σ用于表面,ρ用于体积。  

 

 

kg mn, n = 1, 2, 3 M Ln
质量矩[5] m (没有通用符号) 点质量:

 

相对固定轴 的离散质量:  

相对固定轴 的连续质量:  

kg m M L
质心 rcom

(符号不一定)

i个质量  

离散质量:  

连续质量:  

m L
二体约化质量 m12, μ= m1 and m2   kg M
转动惯量(MOI) I 离散质量:

 

连续质量:  

kg m2 M L2

导出的运动学物理量

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经典粒子的运动学物理量:质量m、位置r、速度v、加速度a
通用名 通用符号 定义 国际单位制 量纲
速度 v   m s−1 L T−1
加速度 a   m s−2 L T−2
加加速度 j   m s−3 L T−3
Jounce英语Jounce s   m s−4 L T−4
角速度 ω   rad s−1 T−1
角加速度 α   rad s−2 T−2
加加速度 ζ   rad s−3 T−3

导出的动力学物理量

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经典力学下物质的角动量。

左: 固有的自旋角动量S是物体每一点的轨道角动量

右: 对应一个轴的外在轨道角动量L

上:转动惯量 I以及角速度ωL不一定会和ω平行)[6]

下:动量p以及其相对于轴的位置r

。总角动量(spin + orbital)为J
通用名 通用符号 定义 国际单位制 量纲
动量 p   kg m s−1 M L T−1
F   N = kg m s−2 M L T−2
冲量 J, Δp, I   kg m s−1 M L T−1
相对一点r0角动量 L, J, S  

若各质点的旋转轴均相交在同一点,可以设定r0 = 0

kg m2 s−1 M L2 T−1
力相对一点r0力矩 τ, M   N m = kg m2 s−2 M L2 T−2
角冲量 ΔL (没有通用符号)   kg m2 s−1 M L2 T−1

一般能量定义

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通用名 通用符号 定义 国际单位制 量纲
合力产生的 W   J = N m = kg m2 s−2 M L2 T−2
力学系统所作的功 WON, WBY   J = N m = kg m2 s−2 M L2 T−2
势能 φ, Φ, U, V, Ep   J = N m = kg m2 s−2 M L2 T−2
机械功率 P   W = J s−1 M L2 T−3

每一个保守力都有对应的势能。根据以下二个原理,可以设定势能U的值:

  • 保守力为零的时候,势能也定义为零。
  • 保守力作功时,势能减少。

广义力学

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通用名 通用符号 定义 国际单位制 量纲
广义座标 q, Q 不一定 不一定
广义速度     不一定 不一定
广义动量 p, P   不一定 不一定
拉格朗日量 L  

其中 以及 p = p(t) 分别是广义座标以及动量的向量,是时间的函数。

J M L2 T−2
哈密顿量 H   J M L2 T−2
作用量,哈密顿主函数 S,     J s M L2 T−1

运动学

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在以下转动的定义中,角度是对应转动轴的位意角度。一般常用θ,不过不一定要是极座标下的极角。单位轴向量

 

定义转动轴 r方向上的单位向量, 是和角呈切线的单位向量。

平移 转动
速度 平均:

  瞬时:

 

角速度 转动刚体 
加速度 平均:

 

瞬时:

 

角加速度

 

转动刚体:

 

加加速度 平均:

 

瞬时:

 

加加速度

 

转动刚体:

 

动力学

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平移 转动
动量

 

针对转动刚体:

 

角动量

 

此外积为赝矢量,若rp都反向(变号),L不会变号。

一般来说,I是二维张量·表示张量缩并英语tensor contraction

牛顿第二运动定律 作用在系统质心上的合力,等于动量的变化率:

 

针对许多质点的系统,质点i的运动方程式为:[7]

 

其中pi是第i个质点的动量,Fij,是粒子j作用在粒子i上的力,FE是合外力(来自系统以外的物体)。粒子i不会产生给自身的力。

力矩

力矩(torque)τ也称为moment of a force,是转动系统中对应力的物理量:[8]

 

若是刚体,牛顿第二转动定律的形式类似平移运动下的形式:

 

若针对许多质点,质点i的运动方程为:[9]

 

Yank Yank是力的变化率:

 

若是固定质量,会变成下式:  

Rotatum英语Rotatum

Rotatum Ρ也称为moment of a Yank,因为是是转动系统中对应Yank的物理量:

 

冲量 冲量是动量的变化:

 

针对固定力F

 

Twirl或是角冲量是角动量的变化:

 

针对固定力矩τ

 

进动

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陀螺的进动角速度为:

 

其中w是自旋物体的重量。

能量

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系统以外事物对系统所作的机械功等于系统的动能变化:

通用功—能定理(平移及转动)

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系统以外事物,对曲线路径C上的质点产生力F(在 r的位置)以及力矩τ,所做成的功W为:

 

其中θ是相对单位向量n所定义轴的转动角度。

动能

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物体一开始的速度为 ,后来的速度为 ,其动能变化为:  

弹性势能

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遵守胡克定律的弹簧,若一端固定,拉长后,其弹性势能英语elastic potential energy

 

其中r2r1是弹簧未固定端,在拉长后以及拉长前的共线座标,方向是往拉长/压缩的方向,k是弹簧常数。

刚体运动的欧拉方程

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莱昂哈德·欧拉也像牛顿一様,发表了运动定律,可以参见欧拉运动定律。这些定律将牛顿运动定律扩展到刚体的运动上,不过本质是相同的。以下是欧拉提出新的运动方程式[10]

 

其中I转动惯量张量.

通用平面运动

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前面平面运动的方程可以用在此处,应用上述的定义即可推出动量、角动量等。针对在平面上路径移动的物体。

 

以下的结果可应用在质点上。

运动学 动力学
位置

 

速度

 

动量

 

角动量  

加速度

 

向心力

 

其中的m是质量矩(mass moment),科里奥利力

 

科里奥利加速度以及科里奥利也可以写成:

 

连心力运动

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针对质量较大的物体,而且因为其他物体所施加的连心力而运动,连心力只和二物体质心的距离有关,其运动方程为:

 

定加速度运动方程

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仅当加速度恒定时才能使用这些方程式。如果加速度会变化,则必须使用上面的一般微积分学方程,透过积分位置、速度和加速度的定义来找到(见上文) 。

线性运动 旋转运动
   
   
   
   
   

伽利略座标系变换

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在古典(伽利略-牛顿)力学里,将物理定律从一个惯性或加速(包括旋转)坐标系(参考坐标系是以定速移动,其中包括零速)变换到另一个坐标系的变换即为伽利略变换。

以下标示r, v, a 的物理量是在坐标系F的位置、速度、加速度物理量,而标示r’, v’, a’ 的物理量是在以相对坐标系F移动速度V或是角速度Ω的坐标系F’的的位置、速度、加速度物理量。相对的,F是以相反的速度(—V or —Ω) 相对于F'移动。此情形类似相对加速度。

运动方式 惯性坐标系 加速坐标系
移动

V = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定速度
A = 两个加速坐标系F和F'之间的相对(变)加速度

相对位置

 

相对速度  

等效加速度  

相对加速度

 

假想力  

转动

Ω = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定角速度
Λ = 两个加速坐标系F和F'之间的相对(变)角加速度

相对角位置

  相对速度  

等效加速度  

相对加速度

 

假想力矩  

将向量T转换到旋转座标系

 

机械谐振子

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运动方程
物理情况 术语 平移方程 角方程
简谐运动
(SHM)
  • x = 横向位移
  • θ = 角位移
  • A =横向振幅
  • Θ = 角振幅
 

解:  

 

解:  

非受迫阻尼振动
  • b = 阻尼常数
  • κ = 扭转常数
 

解(见下文ω):  

谐振频率:  

阻尼率:  

激发的预期寿命(Expected lifetime of excitation):  

 

解:  

谐振频率:  

阻尼率:  

激发的预期寿命(Expected lifetime of excitation):  

角频率
物理情况 术语 方程
线性无阻尼非受迫简谐振子
  • k = 弹簧常数
  • m = 钟摆质量
 
线性非受迫阻尼谐振子
  • k = 弹簧常数
  • b = 阻尼系数
 
低振幅角简谐振子
  • I = 相对摆动轴转动惯量
  • κ = 扭转常数
 
低振幅单摆
  • L = 摆锤长度
  • g = 重力加速度
  • Θ = 角振幅
近似值

 

精确值可以表示成:  

机械振荡的能量
物理情况 术语 方程
简谐运动能量
  • T = 动能
  • U = 势能
  • E = 总能量
势能:

 x = A处的最大值:  

动能:  

总能量:  

阻尼谐振子能源  

相关条目

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参考资料

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  1. ^ Mayer, Sussman & Wisdom 2001,第xiii页
  2. ^ Berkshire & Kibble 2004,第1页
  3. ^ Berkshire & Kibble 2004,第2页
  4. ^ Arnold 1989,第v页
  5. ^ Section: Moments and center of mass. 
  6. ^ R.P. Feynman; R.B. Leighton; M. Sands. Feynman's Lectures on Physics (volume 2). Addison-Wesley. 1964: 31–7. ISBN 978-0-201-02117-2. 
  7. ^ "Relativity, J.R. Forshaw 2009"
  8. ^ "Mechanics, D. Kleppner 2010"
  9. ^ "Relativity, J.R. Forshaw 2009"
  10. ^ "Relativity, J.R. Forshaw 2009"

参考书目

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