证明<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r84583234">'"`UNIQ--templatestyles-00000001-QINU`"'</style>22⁄7大于π

人们经常使用${\frac {22}{7}}$这个有理数作为圆周率$\pi$的丢番图逼近。在$\pi$的连分数表达中，${\frac {22}{7}}$是它的一个渐近分数。从这两个数字的小数形式可见${\frac {22}{7}}$是大于$\pi$的：

${\frac {22}{7}}\approx 3.142857\dots \,$

$\pi \approx 3.141592\dots \,$

这个近似值从古代就有人使用。纵使阿基米德并非这个近似值的始创者，但他证明了${22 \over 7}$高估了圆周率。他以${22 \over 7}$大于外切正96边形的周界：该圆直径之比作证明。

这个近似值常被称为“约率”，除这以外，常用的近似值还有同是由祖冲之在5世纪提出的密率：${355 \over 113}$。

以下是另一个${\frac {22}{7}}>\pi$的证明，所用到的只是微积分的基本技巧。它本来只是用于显示可以用有系统的方法计算π的值，而非以证明${\frac {22}{7}}>\pi$为最终目标。它比起一些基本证明更容易理解。它的优雅是由于它和丢番图逼近的关连。路卡斯称这条公式为“其中一个估计π值的最美丽结果”。Havil以这个结果作为一个有关以连分数估计的讨论之结尾，说它在该范畴是“不得不提及”的。

概念

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi$

故此${\frac {22}{7}}>\pi$。

详情

被积函数是一个分数，其分子和分母皆是非负函数，所以该积分是正数。由于被积函数是正数，由0至1的定积分也大于0。

以下就证明该积分实际上与${22 \over 7}$的关系：

$0\,$	$<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx$
	$=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx$	展开分子的数项
	$=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx$	多项式长除法
	$=\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right]_{0}^{1}$	定积分（微积分基本定理）
	$={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \$	把结果代入1和0，然后相减。注意：$\arctan 1={\frac {\pi }{4}}$
	$={\frac {22}{7}}-\pi .$	加数

布肯南数学比赛中的出现

求取这积分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛的第一个题目：

A-1. 证明

${\frac {22}{7}}-\pi =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx$

上限和下限

达赛尔（1944）指出，只要把1代入分母中的$x$，可轻易取得积分的下限；把0代入分母中的$x$，可取得积分的上限：

${1 \over 1260}<\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx<{1 \over 630}.$

结果得出

${22 \over 7}-{1 \over 630}<\pi <{22 \over 7}-{1 \over 1260}.$

也许这是计算$\pi$值至小数后3位的最快和最基本的方法。另参见达赛尔（1971）.

相关条目

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外部链接

• Pi的故事（页面存档备份，存于互联网档案馆），Jonathan Borwein著；第5页出现这积分