费马数

未解决的数学问题：当

n>4

时，是否每个费马数都是合数？(可能可以用数学归纳法证明)

费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：

F_{n}=2^{2^{n}}+1

其中 $n$ 为非负整数。

若 $2^{n}+1$ 是素数，可以得到n必须是2的幂。（若 $n=ab$ ，其中 $1<a,b<n$ 且b为奇数，则 $2^{n}+1\equiv (2^{a})^{b}+1\equiv (-1)^{b}+1\equiv 0{\pmod {2^{a}+1}}$ ，即 $2^{a}+1$ 是 $2^{n}+1$ 的约数。）也就是说，所有具有形式 $2^{n}+1$ 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 $F_{0}$ 至 $F_{4}$ 五个。

基本性质

费马数满足以下的递归关系：

F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1\,

F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}

F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}

F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2

其中 $n\geqslant 2$ 。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 $0\leqslant i<j$ 且 $F_{i}$ 和 $F_{j}$ 有一个公因子 $a>1$ 。那么 $a$ 能把

F_{0}\cdots F_{j-1}

和 $F_{j}$ 都整除；则 $a$ 能整除它们相减的差。因为 $a>1$ ，这使得 $a=2$ 。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。

其他性质：

$F_{n}$ 的位数 $D(n,b)$ 可以表示成以 $b$ 为基数就是

D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{\overset {n}{}}}+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor

(参见高斯函数).

除了 $F_{1}=2+3$ 以外没有费马数可以表示成两个素数的和。
当 $p$ 是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。
除了 $F_{0}$ 和 $F_{1}$ ，费马数的最后一位是7。
所有费马数（OEIS数列A051158）的倒数之和是无理数。 (所罗门·格伦布,1963)

费马数的因式分解

最小的12个费马数为：

F₀	=	2¹	+	1	=	3
F₁	=	2²	+	1	=	5
F₂	=	2⁴	+	1	=	17
F₃	=	2⁸	+	1	=	257
F₄	=	2¹⁶	+	1	=	65,537 以上5个是已知的费马素数。
F₅	=	2³²	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417
F₆	=	2⁶⁴	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617
					=	274,177 × 67,280,421,310,721
F₇	=	2¹²⁸	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
					=	59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F₈	=	2²⁵⁶	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
					=	1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321
F₉	=	2⁵¹²	+	1	=	13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,546, 976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,097
					=	2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 × 741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759,504,705,008,092,818,711,693,940,737
F₁₀	=	2¹⁰²⁴	+	1	=	179,769,313,486,231,590,772,930,519,078,902,473,361,797,697,894,230,657,273,430,081,157,732,675,805,500,963,132,708,477,322,407,536,021,120, 113,879,871,393,357,658,789,768,814,416,622,492,847,430,639,474,124,377,767,893,424,865,485,276,302,219,601,246,094,119,453,082,952,085, 005,768,838,150,682,342,462,881,473,913,110,540,827,237,163,350,510,684,586,298,239,947,245,938,479,716,304,835,356,329,624,224,137,217
					=	45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 × 130,439,874,405,488,189,727,484,768,796,509,903,946,608,530,841,611,892,186,895,295,776,832,416,251,471,863,574, 140,227,977,573,104,895,898,783,928,842,923,844,831,149,032,913,798,729,088,601,617,946,094,119,449,010,595,906, 710,130,531,906,171,018,354,491,609,619,193,912,488,538,116,080,712,299,672,322,806,217,820,753,127,014,424,577
F₁₁	=	2²⁰⁴⁸	+	1	=	32,317,006,071,311,007,300,714,876,688,669,951,960,444,102,669,715,484,032,130,345,427,524,655,138,867,890,893,197,201,411,522,913,463,688,717, 960,921,898,019,494,119,559,150,490,921,095,088,152,386,448,283,120,630,877,367,300,996,091,750,197,750,389,652,106,796,057,638,384,067, 568,276,792,218,642,619,756,161,838,094,338,476,170,470,581,645,852,036,305,042,887,575,891,541,065,808,607,552,399,123,930,385,521,914, 333,389,668,342,420,684,974,786,564,569,494,856,176,035,326,322,058,077,805,659,331,026,192,708,460,314,150,258,592,864,177,116,725,943, 603,718,461,857,357,598,351,152,301,645,904,403,697,613,233,287,231,227,125,684,710,820,209,725,157,101,726,931,323,469,678,542,580,656, 697,935,045,997,268,352,998,638,215,525,166,389,437,335,543,602,135,433,229,604,645,318,478,604,952,148,193,555,853,611,059,596,230,657
					=	319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 × 3,560,841,906,445,833,920,513 × 173,462,447,179,147,555,430,258,970,864,309,778,377,421,844,723,664,084,649,347,019,061,363,579,192,879,108,857,591,038,330,408,837,177,983,810,868,451, 546,421,940,712,978,306,134,189,864,280,826,014,542,758,708,589,243,873,685,563,973,118,948,869,399,158,545,506,611,147,420,216,132,557,017,260,564,139, 394,366,945,793,220,968,665,108,959,685,482,705,388,072,645,828,554,151,936,401,912,464,931,182,546,092,879,815,733,057,795,573,358,504,982,279,280,090, 942,872,567,591,518,912,118,622,751,714,319,229,788,100,979,251,036,035,496,917,279,912,663,527,358,783,236,647,193,154,777,091,427,745,377,038,294, 584,918,917,590,325,110,939,381,322,486,044,298,573,971,650,711,059,244,462,177,542,540,706,913,047,034,664,643,603,491,382,441,723,306,598,834,177

其中前八个来源于（OEIS数列A000215）。

素因数个数颜色：红色：2个约数；绿色：3个约数；粉色：4个约数；蓝色：5个约数；橘色：6个约数；紫色：7个约数(含以上)；

只有最小的12个费马数被人们完全分解了^[1]，目前最小不确定素性的费马数是 $F_{33}$ 。

不确定素性的数： $F_{n}$ ，n = 33、34、35、44、45、46、...

历史

1640年，费马提出了一个猜想，认为所有的费马数都是素数。这一猜想对最小的5个费马数成立，于是费马宣称他找到了表示素数的公式。然而，欧拉在1732年否定了这一猜想，他给出了 $F_{5}$ 的分解式：

F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417

欧拉证明费马数的约数皆可表成 $k2^{n+1}+1$ ，之后卢卡斯证明费马数的约数皆可表成 $k2^{n+2}+1$ 。

费马的本猜测到了大数可说是大错特错，甚至多数数学家认为不存在第6个费马素数。

定理

高斯称：尺规作图正多边形的边数目的充分条件是2的非负整数次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。这个条件也是必要条件，但他没有给出证明。

素性检验

方法一

设 $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ 为第 $n$ 个费马数。如果 $n$ 不等于零，那么：

F_{n}

是素数，当且仅当

3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}

。

证明

假设以下等式成立：

3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}

那么 $3^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}$ ，因此满足 $3^{k}=1{\pmod {F_{n}}}$ 的最小整数 $k$ 一定整除 $F_{n}-1=2^{2^{n}}$ ，它是2的幂。另一方面， $k$ 不能整除 ${\tfrac {F_{n}-1}{2}}$ ，因此它一定等于 $F_{n}-1$ 。特别地，存在至少 $F_{n}-1$ 个小于 $F_{n}$ 且与 $F_{n}$ 互素的数，这只能在 $F_{n}$ 是素数时才能发生。

假设 $F_{n}$ 是素数。根据欧拉准则，有：

3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv \left({\frac {3}{F_{n}}}\right){\pmod {F_{n}}}

,

其中 $\left({\frac {3}{F_{n}}}\right)$ 是勒让德符号。利用重复平方，我们可以发现 $2^{2^{n}}\equiv 1{\pmod {3}}$ ，因此 $F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}$ ，以及 $\left({\frac {F_{n}}{3}}\right)=-1$ 。因为 $F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}$ ，根据二次互反律，我们便可以得出结论 $\left({\frac {3}{F_{n}}}\right)=-1$ 。

方法二

根据费马平方和定理，可证明某些费马数为合数。(因为 $4n+1$ 型的素数皆可表示为两正整数的平方和，且表示方法唯一) 例如： $F_{5}=(2^{16})^{2}+1^{2}=20449^{2}+62264^{2}$ $F_{6}=(2^{32})^{2}+1^{2}=1438793759^{2}+4046803256^{2}$

注释

^ （英文）费马数的分解（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] （英文）费马数的分解（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1]