赫尔德条件

数学上，称$\mathbb {R} ^{n}$上的实值函数$f$适合赫尔德条件，或称赫尔德连续，当存在非负常数$C$，$\alpha$，使得$\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$,

$|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.$

这条件可以推广至任何两个度量空间之间的函数。$\alpha$称为赫尔德条件的指数。如果$\alpha =1$，则函数适合利普希茨条件。如果$\alpha =0$，则函数不过是有界的。

由适合某个赫尔德条件的函数组成的赫尔德空间，在泛函分析有关解偏微分方程的领域有基本地位。记$\Omega$为某个欧几里得空间的开集，赫尔德空间$C^{n,\alpha }(\Omega )$所包含的函数，是直到n阶微分都适合指数$\alpha$的赫尔德条件。这是拓扑向量空间，可以定义半范数：

$|f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},$

对$n\geq 0$，下式给出范数：

$\|f\|_{C^{n,\alpha }}=\|f\|_{C^{n}}+\max _{|\beta |=n}|D^{\beta }f|_{C^{0,\alpha }}$

其中$\beta$涵盖所有多重指标，而

$\|f\|_{C^{n}}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|$

$C^{0,\alpha }({\mathbb {R} })$的例子

• 如果$0<\alpha \leq \beta \leq 1$，那么所有$C^{0,\beta }$赫尔德连续函数都是$C^{0,\alpha }$赫尔德连续的。这也包括了$\beta =1$(这里需要集合是有界的)，所以所有利普希茨连续函数都是$C^{0,\alpha }$赫尔德连续。

• 在$[0,3]$上定义函数$f(x)={\sqrt {x}}$，$f$不是利普希茨连续；但对$\alpha \leq {\frac {1}{2}}$，$f$是$C^{0,\alpha }$赫尔德连续。