轨道测定

轨道测定(OD, Orbit Determination, 亦称轨道确定或轨道决定)是估算行星、小行星、彗星、月球、行星卫星、人造卫星、和太空船等天体绕行其引力源的轨道的技术。透过确定天体的轨道元素，不仅可以推测天体未来的位置，并透过观测来验证；也可以知道还未被发现前的位置。太空船进行星际旅行时，需要不断变换轨道，也需要确定变换后的轨道，以便准确航向目的地。

此图显示NASA在1962年如何处理轨道测量的数据（只有历史上的兴趣）。

观测是取得一系列资料以送入轨道测定的算法。通常一位地基的观测者的观测资料包括时间标记、方位角、高度角、斜距和/或范围率值。因为肉眼的观测不能满足精密定轨的需求，所以都要使用望远镜或雷达装置。

轨道测定之后，数学的推演技术可以用于预测物体未来的轨道位置。随着时间的推移，物体的实际轨道路径往往会偏离预期的路径（尤其是天体的摄动是很难预测的，像是大气阻力等）；新的轨道测定使用新的观测，并有助于重新角准轨道的知识。

美国和做伙的国家，范围广泛的光学、和雷达的资源，允许联合太空作战中心观测与搜集地球轨道上所有的物体。这些观测用于新的轨道计算和测定，以及维护卫星目录的总体精度。防撞计算可以使用这些资料来计算一个轨道上的物体与另一个轨道上的物体碰撞的概率。如果在目前轨道上的碰撞风险是不能接受的，卫星的营运单位可能会决定调整轨道（如果碰撞的概率很低，它是不可能调整轨道的。因为这样做将会导致卫星的推进剂迅速耗尽）。当观测的数量和品质提高，轨道测定技术的准确性也会提高，就会减少提醒卫星营运单位注意的假警报。其它国家，包括俄罗斯和中国，都有类似的追踪资源。

方法

轨道确定中有两个著名的问题，要分别在不同状况下求得绕轨天体的轨道：

• 高斯问题 (the problem of Gauss)，是要从已知的 3 个连续位置，$P_{1}$, $P_{2}$ 和 $P_{3}$，确定物体的运动轨道. 在1801年, 高斯透过收集到的三笔数据，于 1801 年 1 月重新找到了天文学家观测后丢失的谷神星 (Ceres)。此举让高斯大大出名。因此，这个问题以他的名字命名。

• 蓝伯特问题 (the problem of Lambert)，在已知两组连续位置和日期，{$P_{1}$,$t_{1}$} 及 {$P_{2}$,$t_{2}$}，的情况下，求解物体的运动轨道。

吉伯斯法

高斯问题现在可以用吉伯斯 Gibbs 在 1890 年左右发明的向量进行处理。

轨道测定最基本的原理是由轨道物体的状态向量，即其位置向量及速度向量求出它的几个轨道要素。吉伯斯法主要是透过几个辅助向量，求得物体的速度向量。如此就可以透过状态向量得出轨道要素。以下将介绍关于这几个辅助向量的重要的定理，并与一些轨道参数连结。最终，将求得其速度向量，以便与进行轨道测定。

由轨道焦点连结到3个观察点，可形成 3 个位置向量${\overrightarrow {r_{1}}}$, ${\overrightarrow {r_{2}}}$ 及 ${\overrightarrow {r_{3}}}$ 并定义出轨道平面。这些向量包含充足的轨道讯息，因此可以透过最小平方法来修正轨道的误差。在轨道面上我们可以定义出垂直于这个平面的单位向量 ${\vec {k}}$，指向近地点方向的单位向量 ${\vec {i}}$ 及与其正交的方向单位向量 ${\vec {j}}={\vec {k}}\times {\vec {i}}$。

吉伯斯法确定速度向量

吉伯斯定理 1

由三个位置向量所定义出来的 Gauss-Gibbs 向量 ${\vec {G}}$ 指向 ${\vec {j}}$ 的方向 (半短轴方向)，其中 :

${\begin{aligned}{\vec {G}}&={\overrightarrow {r_{1}}}(r_{2}-r_{3})+{\overrightarrow {r_{2}}}(r_{3}-r_{1})+{\overrightarrow {r_{3}}}(r_{1}-r_{2})\\&=\|{\vec {G}}\|{\vec {j}}\end{aligned}}$.

证明

透过牛顿力学解刻普勒问题的过程中，会得出一个离心率向量 ${\vec {e}}$，其大小与轨道离心率相同，方向则指向近心点方向，${\vec {e}}=e{\vec {i}}$。

在开普勒轨道中，离心率向量是一个不变量，形式为 :

${\vec {e}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {L_{0}}}}{GMm}}-{\frac {\vec {r}}{r}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {h}}}{\mu }}-{\frac {\vec {r}}{r}}$,

$L_{0}$ 为角动量 (angular momentum)

${\vec {h}}={\frac {\vec {L_{0}}}{m}}$ 为相对角动量或比角动量 (specific angular momentum)

$\mu =GM$ 为标准重力参数 (standard gravitational parameter).

由牛顿力学所推导出来的轨道极座标式为 :

$r={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}$

$p=r(1+e\cos(\theta ))$

其中，$re\cos(\theta )={\vec {e}}\cdot {\vec {r}}$ 因此，有以下关系式 : $p-r={\vec {e}}\cdot {\vec {r}}$.

计算 ${\vec {G}}$ 与 ${\vec {e}}$ 的内积，并利用以上关系式，即可证明两者互相垂直。

${\vec {G}}\cdot {\vec {e}}=(p-r_{1})(r_{2}-r_{3})+(p-r_{2})(r_{3}-r_{1})+(p-r_{3})(r_{1}-r_{2})=0$.

故 ${\vec {G}}$ 与 ${\vec {j}}$ (半短轴方向) 同向，可表示为 ${\vec {G}}=\|{\vec {G}}\|{\vec {j}}$。

吉伯斯定理 2

令三个位置向量所定义出来的面积向量为:

${\vec {A}}={\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}+{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}+{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}=\|{\vec {A}}\|\,{\vec {k}}$

则:

${\begin{aligned}{\vec {A}}\times {\vec {e}}={\vec {G}}\end{aligned}}$

且轨道离心率 (eccntricity) 为:

$e={\frac {\|{\vec {G}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}$.

证明

分别计算向量 ${\vec {A}}$ 各分量与 ${\vec {e}}$ 的外积, 并考虑 ${\vec {e}}\cdot {\vec {r}}=p-r$, 可得:

${\begin{aligned}({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\times {\vec {e}}&=p({\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}})+r_{2}{\vec {r_{1}}}-r_{1}{\vec {r_{2}}}\\({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\times {\vec {e}}&=p({\vec {r_{3}}}-{\vec {r_{2}}})+r_{3}{\vec {r_{2}}}-r_{2}{\vec {r_{3}}}\\({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\times {\vec {e}}&=p({\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{3}}})+r_{1}{\vec {r_{3}}}-r_{3}{\vec {r_{1}}}\\\end{aligned}}$.

将 3 个乘积相加，消去含 $p$ 的同值异号分项，并合并相同向量的系数，即得,

${\begin{aligned}{\vec {A}}\times {\vec {e}}&=(r_{2}-r_{3}){\vec {r_{1}}}+(r_{3}-r_{1}){\vec {r_{2}}}+(r_{1}-r_{2}){\vec {r_{3}}}\\&={\vec {G}}\end{aligned}}$

由于三个向量 ${\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}},{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}},{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}$ 和他们的总和 ${\vec {A}}$ 均垂直于轨道平面。所以

${\vec {A}}\times {\vec {e}}=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {e}}\|\sin(90^{\circ })\,{\vec {j}}=\|{\vec {A}}\|\,\,e\,{\vec {j}}$

$\|{\vec {A}}\times {\vec {e}}\|=\|{\vec {A}}\|\,\,e$

移项即可证

$e={\frac {\|{\vec {A}}\times {\vec {e}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}={\frac {\|G\|}{\|{\vec {A}}\|}}$.

吉伯斯定理 3

最后，令三个位置向量所定义出来的加权体积向量为:

${\vec {V}}=({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\cdot r_{3}+({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\cdot r_{1}+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\cdot r_{2}=\|{\vec {V}}\|\,{\vec {k}}$.

则, 轨道的半正焦弦 (semi-latus rectum) 的长度 $p$ 可由体积向量与面积向量求得:

$p={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}$.

且绕轨物体的相对角动量 (specific angular momentum), $h$, 为:

$h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$.

证明

由于三个位置向量共平面，因此它们可以写成：

${\begin{aligned}{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}&=a_{12}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{12}={\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\cdot {\vec {k}}\\{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}&=a_{23}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{23}={\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\cdot {\vec {k}}\\{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}&=a_{31}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{31}={\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\cdot {\vec {k}}\\\end{aligned}}$

在此，${\vec {k}}$ 是垂直于轨道平面的单位向量，并假设它具有与角动量向量相同的方向：

${\vec {k}}={\frac {{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}}{\|{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\|}}={\frac {{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}}{\|{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\|}}={\frac {{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}}{\|{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\|}}$.

由于三个向量互相独立，故存在系数 $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$，使得它们的线性组合为零向量：

$\lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}={\vec {0}}$.

将此方程与 ${\vec {e}}$ 求内积, 并考虑 ${\vec {e}}\cdot {\vec {r}}=p-r$，则有：

$p\,\,(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})=\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}$,

可知

$p={\frac {\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}$.

如果上式与 ${\vec {r_{1}}},{\vec {r_{2}}},{\vec {r_{3}}}$ 分别求外积。则有：

$\lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{1}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{1}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}={\vec {0}}$

$\lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{2}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{2}}}={\vec {0}}$

$\lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{3}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{3}}}={\vec {0}}$,

展开上式，且消去同值异号项目，合并系数后, 得:

${\begin{aligned}-\lambda _{2}\,a_{12}+\lambda _{3}\,a_{31}&=0\\+\lambda _{1}\,a_{12}-\lambda _{3}\,a_{23}&=0\\-\lambda _{1}\,a_{31}+\lambda _{2}\,a_{23}&=0\end{aligned}}$.

求解此联立方程式，（并假定 k 为任选的比例常数）可得:

${\begin{aligned}\lambda _{1}\ =k\cdot a_{23}=k\cdot {\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\cdot {\vec {u_{3}}}\\\lambda _{2}\ =k\cdot a_{31}=k\cdot {\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\cdot {\vec {u_{3}}}\\\lambda _{3}\ =k\cdot a_{12}=k\cdot {\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\cdot {\vec {u_{3}}}\end{aligned}}$.

将这些系数代入 $p$ 的参数式，结果就是,

${\begin{aligned}p&={\frac {\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}\\&={\frac {({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\,r_{1}+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\,r_{2}+({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\,r_{3}}{({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})+({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})}}\\&={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\vec {\|V\|}}{\vec {\|A\|}}}\end{aligned}}$

又, 由牛顿力学所推导出来的运动轨迹方程式可知,

$p={\frac {h^{2}}{\mu }}$

因此, 透过 $p$ 的桥接, 可以得到 $h$ 与 [${\vec {A}},{\vec {V}}$] 的关系：

${\begin{aligned}p&={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}={\frac {h^{2}}{\mu }}\\\Rightarrow h&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}\end{aligned}}$

而 [${\vec {A}},{\vec {V}}$] 这两个由观测位置所定义出来的辅助向量, 也与轨道的几何性质 $p$ 及运动力学的参数 $h$ 巧妙地结合在一起。

速度向量决定

位置向量所对应的速度向量可以透过离心率向量计算出来。 方法是透过 ${\vec {k}}$ 与 ${\vec {e}}$ 的外积，取得速度向量的表示式。

计算速度向量的步骤如下：

${\begin{aligned}{\vec {e}}&={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {h}}}{\mu }}-{\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {k}}\times {\vec {e}}&={\frac {{\vec {k}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {h}})}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\&={\frac {({\vec {k}}\cdot {\vec {h}}){\vec {v}}-({\vec {k}}\cdot {\vec {v}}){\vec {h}}}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {k}}\times e{\vec {i}}&={\frac {({\vec {k}}\cdot h{\vec {k}}){\vec {v}}}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\e{\vec {j}}&={\frac {h{\vec {v}}}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\\end{aligned}}$.

因此，以重力参数和位置向量来表示，我们有以下的速度向量方程式：

${\vec {v}}={\frac {\mu }{h}}(e{\vec {j}}+{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})$

($\mu$ 为标准重力参数 standard gravitational parameter).

由前面的定理可知,

$e={\frac {\|{\vec {G}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}$,

且

$h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$

故

${\begin{aligned}{\vec {v}}&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {A}}\|}{\|{\vec {V}}\|}}}({\frac {\|{\vec {G}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}{\vec {j}}+{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {A}}\|}{\|{\vec {V}}\|}}}({\frac {\vec {G}}{\|{\vec {A}}\|}}+{\frac {\vec {A}}{\|{\vec {A}}\|}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {V}}\|\,\|{\vec {A}}\|}}}\,\,({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\\end{aligned}}$.

由三个位置向量决定速度向量

总结以上结果，速度向量 ${\vec {v}}$ 与 ${\vec {G}},{\vec {A}},{\vec {V}}$ 的关系可表达为以下方程式：

${\vec {v}}={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {V}}\|\,\|{\vec {A}}\|}}}\,\,({\vec {G}}+{\frac {{\vec {A}}\times {\vec {r}}}{r}})$.

这也可以有另一种证明方式。方法是利用 ${\vec {G}}={\vec {A}}\times {\vec {e}}$ 的关系及 ${\vec {e}}$ 与 $[{\vec {v}},{\vec {r}}]$ 的关系，找出 $[{\vec {v}},{\vec {r}}]$ 与 $[{\vec {G}},{\vec {A}},{\vec {V}}]$ 的可能关系。证明如下：

${\begin{aligned}{\vec {e}}&={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {h}}}{\mu }}-{\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {G}}&={\vec {A}}\times {\vec {e}}={\frac {{\vec {A}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {h}})}{\mu }}-{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\&={\frac {({\vec {A}}\cdot {\vec {h}}){\vec {v}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {v}}){\vec {h}}}{\mu }}-{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\\Rightarrow {\vec {G}}&={\frac {({\vec {A}}\cdot h{\vec {k}}){\vec {v}}}{\mu }}-{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\\Rightarrow {\vec {v}}&={\frac {\mu }{({\vec {A}}\cdot h{\vec {k}})}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\\end{aligned}}$.

因此，速度向量也可以表示为：

${\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\cdot h}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\\end{aligned}}$.

由先前的定理已知 $h$ 与 $[{\vec {V}},{\vec {A}}]$ 有关。故可代入:

$h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$.

最终，透过三个位置向量所定义的辅助向量 ${\vec {G}},{\vec {A}},{\vec {V}}$, 可以将速度向量表示为三个位置向量的函数：

${\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\cdot h}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|}}{\sqrt {\frac {\|{\vec {A}}\|}{\mu \|{\vec {V}}\|}}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\{\vec {v}}&={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\|V\|}}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}).\\\end{aligned}}$

状态向量轨道确定法

轨道确定的基本任务是由轨道状态向量 [${\vec {r}},{\vec {v}}$]，确定一个轨道物体相对于其中心物体参考框架的古典轨道元素或开普勒元素,$a,e,i,\Omega ,\omega ,\nu$ 。中心天体是万有引力的来源，如太阳、地球、月球和其他行星。而轨道天体则包括围绕太阳的行星、围绕地球的人造卫星和围绕行星的太空船等。牛顿运动定律对轨道物体的轨迹, 即开普勒轨道, 有很好的解释。

由一个状态向量确定轨道的步骤摘要如下：

• 由状态向量计算轨道物体的相对角动量 (比角动量) (specific angular momentum) ${\vec {h}}$：

${\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}=\left|{\vec {h}}\right|{\vec {k}}=h{\vec {k}}$

在这里 ${\vec {k}}$ 是轨道平面 z 轴的单位向量。比角动量是个轨道物体的常数向量。且它的方向垂直于轨道物体的轨道平面。

• 由 ${\vec {h}}$ 计算升交点向量 (ascending node vector) ${\vec {n}}$。假设 ${\vec {K}}$ 代表参考平面Z轴的单位向量，${\vec {K}}$ 将垂直于中心体的参考平面，则：

${\vec {n}}={\vec {K}}\times {\vec {h}}$

升交点向量是从中心天体指向轨道平面升交点的向量。由于升交点线是轨道平面和参考平面的交线，故它同时垂直于参考平面向量 (${\vec {K}}$ ) 和轨道平面法向量 (${\vec {k}}$ 或者 ${\vec {h}}$)。因此，升交点向量可以由这两个向量的外积来定义。

• 计算轨道的离心率向量 (eccentricity vector) ${\vec {e}}$。离心率向量具有轨道离心率的大小， $e$ ，并指向轨道近心点的方向。这个方向通常被定义为轨道平面的 x 轴并且有一个单位向量 ${\vec {i}}$ .根据运动定律，可表示为：

${\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\\e&=\left|{\vec {e}}\right|\\\end{aligned}}$

在此 $\mu =GM$ 是质量为 $M$ 之中心体的标准引力参数， 而 $G$ 则是万有引力常数。

• 计算轨道半正焦弦 (semi-latus rectum) $p$ 及其半长轴 $a$ （假定不是抛物线轨道。抛物线轨道的 $e=1$ 且 $a$ 未定义或定义为无穷大）：

$p={\frac {h^{2}}{\mu }}=a(1-e^{2})$

$a={\frac {p}{1-e^{2}}}$, （如果$e\neq 1$）。

• 计算轨道平面相对于参考平面的轨道倾角(交角) (inclination) $i$：

${\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}),i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}$

在此 $h_{K}$ 是 ${\vec {h}}$ 在参考框架的 Z 座标。

• 计算升交点经度 (longitude of ascending node) $\Omega$，即升交线与参考框架 X 轴的夹角：

${\begin{aligned}\cos(\Omega )&={\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}={\frac {n_{I}}{n}}=\cos(360-\Omega )\\\Rightarrow \Omega &=\arccos({\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}})=\Omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \Omega &=360^{\circ }-\Omega _{0},{\text{ if }}n_{J}<0,\\\end{aligned}}$

在此 $n_{I}$ 和 $n_{J}$ 分别是 ${\vec {n}}$ 在参考框架中的 X 和 Y 座标。

请注意 $\cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C$ ，但 $\arccos(C)$ 仅定义在 [0, 180] 度范围。所以 $\arccos(C)$ 代表的角度是模棱两可的，因为在 [0,360] 度中有两个角度，即 $A$ 和 $360-A$，都有相同的 $\cos$ 值。所以，实际上它传回的角度可能是 $A$ 或者 $360-A$. 因此，我们必需根据向量在被测量之平面上的 Y 坐标的正负号来进行象限的判断。在本案例中，$n_{J}$ 的正负号可用于此例之判断。

• 计算近心点引数 (argument of periapsis) $\omega$，这是近心点和升交线之间的角度：

${\begin{aligned}\cos(\omega )&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}=\cos(360-\omega )\\\Rightarrow \omega &=\arccos({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}})=\omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \omega &=360^{\circ }-\omega _{0},{\text{ if }}e_{K}<0,\\\end{aligned}}$

在此 $e_{K}$ 是 ${\vec {e}}$ 在参考框架中的 Z 座标。

• 计算观测历元的真近点角 (true anomaly at epoch) $\nu$，它是在观测时刻（'历元'）当下的位置向量和近心点之间的角度：

${\begin{aligned}\cos(\nu )&={\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}=\cos(360-\nu )\\\Rightarrow \nu &=\arccos({\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}})=\nu _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \nu &=360^{\circ }-\nu _{0},{\text{ if }}{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}<0.\\\end{aligned}}$

在此 ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}$ 的正负号可用于检查 $\nu$ 所在象限, 并修正 $\arccos$ 传回的角度，因为它与飞行路径角 (fly-path angle) $\phi$ 具有相同的正负号 .并且已知，$\nu \in [0,180^{\circ }]$ 时，飞行路径角的符号始终为正, 而当 $\nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]$ 时，始终为负 。两者关系在于 $h=rv\sin(90-\phi )$, 故 ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )$, 与 $\phi$ 有相同正负号 .

• 必要时也可以计算观测历元的纬度引数 (argument of latitude at epoch) $u=\omega +\nu$，即观测时刻当下位置向量与升交线的夹角：

${\begin{aligned}\cos(u)&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}=\cos(360-u)\\\Rightarrow u&=\arccos({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}})=u_{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow u&=360^{\circ }-u_{0},{\text{ if }}r_{K}<0,\\\end{aligned}}$

在此 $r_{K}$ 是 ${\vec {r}}$ 在参考框架中的 Z 座标。

进阶读物

• Curtis, H.; Orbital Mechanics for Engineering Students, Chapter 5; Elsevier (2005) ISBN 0-7506-6169-0.
• Taff, L.; Celestial Mechanics, Chapters 7, 8; Wiley-Interscience (1985) ISBN 0-471-89316-1.
• Bate, Mueller, White; Fundamentals of Astrodynamics, Chapters 2, 5; Dover (1971) ISBN 0-486-60061-0.
• Madonna, R.; Orbital Mechanics, Chapter 3; Krieger (1997) ISBN 0-89464-010-0.
• Schutz, Tapley, Born; Statistical Orbit Determination, Academic Press. ISBN 978-0126836301
• Orbit Determination and Satellite Navigation
• Satellite Orbit Determination