鉴相器特性函数

鉴相器特性函数（phase detector characteristic）是相位差的函数，可以描述鉴相器的输出。

在鉴相器的分析时，常需要考虑时域以及相域-时域的特性。 若要建立鉴相器在相域-时域的适合非线性数学模型，需要找到鉴相器的特性。 鉴相器的输入是高频信号，其输出包括低频的误差修正信号，对应输入信号的相位差。若鉴相器的输出有高频成分，为了要抑制高频成分，会需要低通滤波器。鉴相器的特性是指鉴相器在相域-时域的输出和其输入相位差的相关性。

鉴相器的特性和其实现方式以及其使用的信号种类有关。考量鉴相器特性时，允许针对高频振荡使用平均法，也允许从时域下从相位同步系统非自治模型的分析和仿真，改为在相域-时域自治模型的分析和仿真。

类比乘法器的鉴相器特性

考虑用类比乘法器和低通滤波器组成的鉴相器。

相域—频域下的鉴相器

此处$f^{1}(\theta ^{1}(t))$ and $f^{2}(\theta ^{2}(t))$是高频信号，分段可微函数$f^{1}(\theta )$, $f^{2}(\theta )$是输入信号的波形，$\theta ^{1,2}(t)$是相位，而$g(t)$是滤波器的输出。

若$f^{1,2}(\theta )$和$\theta ^{1,2}(t)$满足高频条件（高频条件在），则 鉴相器特性函数$\phi (\theta )$会用以下方式计算，要使得时域的滤波器输出

$g(t)=\int \limits _{0}^{t}f^{1}(\theta ^{1}(t))f^{2}(\theta ^{2}(t))dt$

和相域—频域模型的滤波输出

$G(t)=\int \limits _{0}^{t}\varphi (\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))dt$

几乎相等

$g(t)-G(t)\approx 0$

弦波输入

考虑简单的弦波输入$f^{1}(\theta )=\sin(\theta ),$ $f^{2}(\theta )=\cos(\theta )$以及积分器滤波器。

$\sin(\theta ^{1}(t))\cos(\theta ^{2}(t))={\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))+{\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))$

标准的工程假设会假设滤波器会去除高频讯号$\sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))$，不改变其低频讯号$\sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))$。

因此，其弦波讯号的鉴相器特性为

$\varphi (\theta )={\frac {1}{2}}\sin(\theta ).$

方波输入

考虑高频方波信号$f^{1}(t)=\operatorname {sgn}(\sin(\theta ^{1}(t)))$ and $f^{2}(t)=\operatorname {sgn}(\cos(\theta ^{2}(t)))$。 针对此讯号，已有论文研究出类似的结果 。 方波讯号的鉴相器特性为

$\varphi (\theta )={\begin{cases}1+{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [-\pi ,0],\\1-{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [0,\pi ].\\\end{cases}}$

一般输入讯号

考虑一般情形的片段连续输入信号$f^{1}(\theta )$, $f^{2}(\theta )$。

输入信号可以展开为傅立叶级数，$f^{1}(\theta )$和$f^{2}(\theta )$傅立叶级数的系数如下：

$a_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\sin(ix)dx,$$b_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\cos(ix)dx,$$c_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)dx,p=1,2$

鉴相器特性为

$\varphi (\theta )=c^{1}c^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\bigg (}(a_{l}^{1}a_{l}^{2}+b_{l}^{1}b_{l}^{2})\cos(l\theta )+(a_{l}^{1}b_{l}^{2}-b_{l}^{1}a_{l}^{2})\sin(l\theta ){\bigg )}.$

显然，鉴相器特性$\varphi (\theta )$是在$\mathbb {R}$内的周期性、连续有界函数。

有些专利是有关此分析方式的结果。