区间

某个范围的数的集合
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区间(英语:interval)在数学上是指某个范围的数的集合,或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合,一般以集合形式表示。

在图中的数轴上,所有大于x和小于x+a的数组成了一个开区间。

简说

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初等代数,传统上区间指一个,包含在某两个特定实数之间的所有实数,亦可能包含该两个实数(或其中之一)。区间表示法是表示一个变量在某个区间内的方式。通用的区间表示法中,圆括号表示排除,方括号表示包括。例如,开区间 表示所有在  之间的实数,但不包括  。另一方面,闭区间 表示所有在  之间的实数,以及  [1]

定义

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实区间

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在赋予通常序的实数集 里,以 为端点的开区间闭区间分别是:

 
 

类似地,以 为端点的两个半开区间定义为:

 
 

在一些上下文中,两个端点要求满足 。这排除了 从而区间或是单元素集合或是空集的情形,也排除了 从而区间为空集的情形。

只有左端点 开区间半开区间分别如下。

 
 

只有右端点 开区间半开区间分别如下。

 
 

整个实数线等于没有端点的区间:

 

偏序集或预序集中的区间

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区间的概念在任何偏序集或者更一般地,在任何预序集中有定义。对于预序集 和两个元素 ,我们可以类似定义[2]:11, Definition 11

 
 
 
 
 
 
 
 
 

其中 意思是 。其实,只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

 
 

上具有两个端点的区间,使得它是 的子集。当 时,可以取 扩展实数线

序凸集和序凸分支

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预序集 的子集 序凸集,如果对于任意 以及任意  。与实区间的情形不同,预序集的序凸集不一定是区间。例如,在有理数全序集 中,

 

是序凸集,但它不是 的区间,这是因为2的平方根在 中是不存在的。

 是一个预序集,且 。包含在 中的 的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做 序凸分支[3]:Definition 5.1佐恩引理,包含在 中的 的任意序凸集包含于 的一个序凸分支,然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中,这样的序凸分支确实唯一。也就是说,全序集的子集的序凸分支构成分划

区间算术

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区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算,在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。

 属于 的某些 ,及属于 的某些 ,使得 

区间算术的基本运算是,对于实数线上的子集  

 
 
 
 

被一个包含零的区间除,在基础区间算术上无定义。

加法和乘法符合交换律结合律和子分配律:集  的子集。

另一种写法

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法国及其他一些欧洲国家,用 代替 来表示开区间,例如:

 
 
 
 

国际标准化组织编制的ISO 31-11也允许这种写法[4]

另外,在小数点以逗号来表示的情况下,为免产生混淆,分隔两数的逗号要用分号来代替,例如将 写成 。若只把小数点写成逗号,就会变成 ,此时不易判断究竟是  之间,还是  之间的闭区间。

参考

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  1. ^ Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. (原始内容存档于2014-12-26). 
  2. ^ Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 (英语). 
  3. ^ Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 (英语). 
  4. ^ ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. (原始内容存档于2021-05-18) (英语).