此条目介绍的是数学上的区间概念。关于铁路运输的区间概念,请见“
闭塞 (铁路)”。
区间(英语:interval)在数学上是指某个范围的数的集合,或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合,一般以集合形式表示。
在赋予通常序的实数集 里,以 为端点的开区间和闭区间分别是:
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类似地,以 为端点的两个半开区间定义为:
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在一些上下文中,两个端点要求满足 。这排除了 从而区间或是单元素集合或是空集的情形,也排除了 从而区间为空集的情形。
只有左端点 的开区间和半开区间分别如下。
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只有右端点 的开区间和半开区间分别如下。
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整个实数线等于没有端点的区间:
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区间的概念在任何偏序集或者更一般地,在任何预序集中有定义。对于预序集 和两个元素 ,我们可以类似定义[2]:11, Definition 11
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其中 意思是 。其实,只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集
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上具有两个端点的区间,使得它是 的子集。当 时,可以取 为扩展实数线。
预序集 的子集 是序凸集,如果对于任意 以及任意 有 。与实区间的情形不同,预序集的序凸集不一定是区间。例如,在有理数的全序集 中,
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是序凸集,但它不是 的区间,这是因为2的平方根在 中是不存在的。
设 是一个预序集,且 。包含在 中的 的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做 的序凸分支。[3]:Definition 5.1由佐恩引理,包含在 中的 的任意序凸集包含于 的一个序凸分支,然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中,这样的序凸分支确实唯一。也就是说,全序集的子集的序凸分支构成分划。
区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算,在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。
- 属于 的某些 ,及属于 的某些 ,使得
区间算术的基本运算是,对于实数线上的子集 及 :
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被一个包含零的区间除,在基础区间算术上无定义。
加法和乘法符合交换律、结合律和子分配律:集 是 的子集。
在法国及其他一些欧洲国家,用 代替 来表示开区间,例如:
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国际标准化组织编制的ISO 31-11也允许这种写法[4]。
另外,在小数点以逗号来表示的情况下,为免产生混淆,分隔两数的逗号要用分号来代替,例如将 写成 。若只把小数点写成逗号,就会变成 ,此时不易判断究竟是 与 之间,还是 与 之间的闭区间。