區間

某个范围的数的集合

區間(英語:interval)在數學上是指某個範圍的數的集合,或者更一般地是指某個範圍的預序集元素的集合,一般以集合形式表示。

在圖中的數軸上,所有大於x和小於x+a的數組成了一個開區間。

簡說

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初等代數,傳統上區間指一個,包含在某兩個特定實數之間的所有實數,亦可能包含該兩個實數(或其中之一)。區間表示法是表示一個變量在某個區間內的方式。通用的區間表示法中,圓括號表示排除,方括號表示包括。例如,開區間 表示所有在  之間的實數,但不包括  。另一方面,閉區間 表示所有在  之間的實數,以及  [1]

定義

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實區間

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在賦予通常序的實數集 里,以 為端點的開區間閉區間分別是:

 
 

類似地,以 為端點的兩個半開區間定義為:

 
 

在一些上下文中,兩個端點要求滿足 。這排除了 從而區間或是單元素集合或是空集的情形,也排除了 從而區間為空集的情形。

只有左端點 開區間半開區間分別如下。

 
 

只有右端點 開區間半開區間分別如下。

 
 

整個實數線等於沒有端點的區間:

 

偏序集或預序集中的區間

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區間的概念在任何偏序集或者更一般地,在任何預序集中有定義。對於預序集 和兩個元素 ,我們可以類似定義[2]:11, Definition 11

 
 
 
 
 
 
 
 
 

其中 意思是 。其實,只有一個端點或者沒有端點的區間等同於更大的預序集

 
 

上具有兩個端點的區間,使得它是 的子集。當 時,可以取 擴展實數線

序凸集和序凸分支

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預序集 的子集 序凸集,如果對於任意 以及任意  。與實區間的情形不同,預序集的序凸集不一定是區間。例如,在有理數全序集 中,

 

是序凸集,但它不是 的區間,這是因為2的平方根在 中是不存在的。

 是一個預序集,且 。包含在 中的 的序凸集關於包含關係構成偏序集。這個偏序集的極大元叫做 序凸分支[3]:Definition 5.1佐恩引理,包含在 中的 的任意序凸集包含於 的一個序凸分支,然而這種序凸分支不一定是唯一的。在全序集中,這樣的序凸分支確實唯一。也就是說,全序集的子集的序凸分支構成分劃

區間算術

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區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算,在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

 屬於 的某些 ,及屬於 的某些 ,使得 

區間算術的基本運算是,對於實數線上的子集  

 
 
 
 

被一個包含零的區間除,在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律結合律和子分配律:集  的子集。

另一種寫法

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法國及其他一些歐洲國家,用 代替 來表示開區間,例如:

 
 
 
 

國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法[4]

另外,在小數點以逗號來表示的情況下,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替,例如將 寫成 。若只把小數點寫成逗號,就會變成 ,此時不易判斷究竟是  之間,還是  之間的閉區間。

參考

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  1. ^ Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. (原始內容存檔於2014-12-26). 
  2. ^ Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 (英語). 
  3. ^ Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 (英語). 
  4. ^ ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. (原始內容存檔於2021-05-18) (英語).