在数学中,特别是在拓扑学领域,如果每个子集都是开放的或封闭的(或两者兼而有之),则拓扑空间被称为门空间。该术语来自介绍性拓扑助记符,即“子集不像一扇门:它可以是打开的、关闭的、两者兼而有之,或者两者都不是”。

属性和示例

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每个门空间都是T 0 (因为如果  是两个拓扑上不可区分的点,单点 既不开放也不封闭。

门空间的每个子空间都是门空间。 [1]门空间的每个也是如此。 [2]

集合上每个比门拓扑更精细的拓扑 也是一种门拓扑结构。

每一个离散空间都是一个门空间。这是无聚点的空间,即其每个点都是孤立点

每个空间 𝑋 恰好有一个累积点(并且所有其他点都是孤立的)是一个门空间(因为仅由孤立点组成的子集是开放的,而包含累积点的子集是闭合的)。一些例子是:(1)离散空间(也称为堡垒空间)的单点紧致化,其中无穷大处的点是累积点;(2)具有排除点拓扑的空间,其中“排除点”是累积点。

集合上的特定点拓扑给出了具有多个累积点的门空间的示例𝑋 至少有三分。开集是包含特定点的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 连同空集。重点 𝑝 是一个孤立点,所有其他点都是累积点。(这是一个门空间,因为每套都包含𝑝是打开的,每组都不包含𝑝已关闭。另一个例子是具有特定点拓扑和离散空间的空间的拓扑和。

集合上的特定点拓扑给出了具有多个累积点的门空间的示例𝑋 至少有三分。开集是包含特定点的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 连同空集。重点 𝑝 是一个孤立点,所有其他点都是累积点。(这是一个门空间,因为每套都包含𝑝是打开的,每组都不包含𝑝已关闭。另一个例子是具有特定点拓扑和离散空间的空间的拓扑和。

门间距 没有孤立点的正是具有以下形式的拓扑结构 对于一些免费的超滤器   [3]这样的空间必然是无限的。

连通门空间有三种类型 [4] [5]

  • 具有排除点拓扑的空间;
  • 具有包含点拓扑的空间;
  • 具有拓扑结构的空间 使得 免费的超滤器 

参考

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  1. ^ Dontchev, Julian. On door spaces (PDF). Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. 1995, 26 (9): 873–881 [2024-04-04]. (原始内容存档 (PDF)于2024-04-05).  Theorem 2.6
  2. ^ Dontchev 1995,Corollary 2.12.
  3. ^ McCartan, S. D. Door Spaces Are Identifiable. Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences. 1987, 87A (1): 13–16 [2024-04-04]. ISSN 0035-8975. JSTOR 20489255. (原始内容存档于2024-01-07). 
  4. ^ McCartan 1987,Corollary 3.
  5. ^ Wu, Jianfeng; Wang, Chunli; Zhang, Dong. Connected door spaces and topological solutions of equations. Aequationes Mathematicae. 2018, 92 (6): 1149–1161. ISSN 0001-9054. S2CID 253598359. arXiv:1809.03085 . doi:10.1007/s00010-018-0577-0.  Theorem 1