在數學中,特別是在拓撲學領域,如果每個子集都是開放的或封閉的(或兩者兼而有之),則拓撲空間被稱為門空間。該術語來自介紹性拓撲助記符,即「子集不像一扇門:它可以是打開的、關閉的、兩者兼而有之,或者兩者都不是」。

屬性和示例

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每個門空間都是T 0 (因為如果  是兩個拓撲上不可區分的點,單點 既不開放也不封閉。

門空間的每個子空間都是門空間。 [1]門空間的每個也是如此。 [2]

集合上每個比門拓撲更精細的拓撲 也是一種門拓撲結構。

每一個離散空間都是一個門空間。這是無聚點的空間,即其每個點都是孤立點

每個空間 𝑋 恰好有一個累積點(並且所有其他點都是孤立的)是一個門空間(因為僅由孤立點組成的子集是開放的,而包含累積點的子集是閉合的)。一些例子是:(1)離散空間(也稱為堡壘空間)的單點緊緻化,其中無窮大處的點是累積點;(2)具有排除點拓撲的空間,其中「排除點」是累積點。

集合上的特定點拓撲給出了具有多個累積點的門空間的示例𝑋 至少有三分。開集是包含特定點的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 連同空集。重點 𝑝 是一個孤立點,所有其他點都是累積點。(這是一個門空間,因為每套都包含𝑝是打開的,每組都不包含𝑝已關閉。另一個例子是具有特定點拓撲和離散空間的空間的拓撲和。

集合上的特定點拓撲給出了具有多個累積點的門空間的示例𝑋 至少有三分。開集是包含特定點的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 連同空集。重點 𝑝 是一個孤立點,所有其他點都是累積點。(這是一個門空間,因為每套都包含𝑝是打開的,每組都不包含𝑝已關閉。另一個例子是具有特定點拓撲和離散空間的空間的拓撲和。

門間距 沒有孤立點的正是具有以下形式的拓撲結構 對於一些免費的超濾器   [3]這樣的空間必然是無限的。

連通門空間有三種類型 [4] [5]

  • 具有排除點拓撲的空間;
  • 具有包含點拓撲的空間;
  • 具有拓撲結構的空間 使得 免費的超濾器 

參考

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  1. ^ Dontchev, Julian. On door spaces (PDF). Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. 1995, 26 (9): 873–881 [2024-04-04]. (原始內容存檔 (PDF)於2024-04-05).  Theorem 2.6
  2. ^ Dontchev 1995,Corollary 2.12.
  3. ^ McCartan, S. D. Door Spaces Are Identifiable. Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences. 1987, 87A (1): 13–16 [2024-04-04]. ISSN 0035-8975. JSTOR 20489255. (原始內容存檔於2024-01-07). 
  4. ^ McCartan 1987,Corollary 3.
  5. ^ Wu, Jianfeng; Wang, Chunli; Zhang, Dong. Connected door spaces and topological solutions of equations. Aequationes Mathematicae. 2018, 92 (6): 1149–1161. ISSN 0001-9054. S2CID 253598359. arXiv:1809.03085 . doi:10.1007/s00010-018-0577-0.  Theorem 1