赋值向量环

在数论中，赋值向量环或阿代尔环（法文：adèle，英译多用原文）是由一个域 $F$ 的所有完备化构成的拓扑环 $\mathbb {A} _{F}$，原域 $F$ 可以对角方式嵌入其中。

在现代代数数论中，赋值向量环是处理整体问题的基本语言。

法文原文 adèle 是 idèle additif 的缩写，其中 idèle 意指理想元（élément idéal）。adèle 也是法文中常见的女性名字。

定义

设 $F$ 为整体域，例如有理数域 $\mathbb {Q}$、一般的数域或函数域 $\mathbb {F} _{q}(T)$ 等等。设 ${\mathcal {O}}_{F}$ 为其中的代数整数环。对于所有 $F$ 上的赋值 $v$（又称位），可定义相应的完备化 $F_{v}$。在此，通常将赋值分为有限与无限两类：

• 有限赋值：一一对应于 ${\mathcal {O}}_{F}$ 的素理想，两两不相等价。其中的赋值环记为 ${\mathcal {O}}_{v}$。
• 无限赋值：$F$ 上的阿基米德赋值。对于数域，无限赋值系由域的嵌入 $\alpha :F\to \mathbb {C}$ 给出，两个嵌入 $\alpha ,\beta :F\to \mathbb {C}$ 给出等价赋值的充要条件是其间至多差一个复共轭：$\alpha ={\bar {\beta }}$。无限赋值的个数有限。

有时也以素理想的惯用符号 ${\mathfrak {p}}$ 表示赋值，并以 ${\mathfrak {p}}\mid \infty$ 表示 ${\mathfrak {p}}$ 为无穷赋值。

定义

$\mathbb {A} _{F}:={\prod _{v}}'F_{v}$

上式的积称为限制积，这是 $\Pi _{v}F_{v}$ 的子环，我们要求对其中的每个元素 $(\alpha _{v})_{v}$，存在包含所有无穷赋值的有限集 $S$，使得 $v\notin S\Rightarrow \alpha _{v}\in {\mathcal {O}}_{v}$。赋予 $\mathbb {A} _{F}$ 相应的子空间拓扑，是为赋值向量环。

$\mathbb {A} _{F}$ 的拓扑由在 $0$ 点的一组局部基确定，可取下述形式之开集：

$(\prod _{v\in S}U_{v})\times (\prod _{v\notin S}{\mathcal {O}}_{v})$

其中 $S$ 是函括所有无限赋值的有限集，$U_{v}\ni 0$ 是 $F_{v}$ 的开子集。根据吉洪诺夫定理可知 $\mathbb {A} _{F}$ 为局部紧拓扑环，这是采限制积定义的原因之一。

性质

• 对角嵌入 $F\to \Pi _{v}F_{v}\quad (\alpha \mapsto (\alpha )_{v})$ 的像落在 $\mathbb {A} _{F}$，可证明 $F$ 构成 $\mathbb {A} _{F}$ 的离散子集，而商群 $\mathbb {A} _{F}/F$ 是紧群。

• 固定 $\mathbb {A} _{F}$ 的任一特征标 $\psi \neq 1$，则任何特征标 $\psi '$ 皆可唯一地表示成 $\psi '(x)=\psi (ax)\quad (a\in \mathbb {A} _{F})$，是故加法群 $(\mathbb {A} _{F},+)$ 是其自身的对偶群。这是在赋值向量环上开展调和分析的关键之一。

应用

赋值向量环主要用于代数数论中。对于 $F$ 上的代数群 $G$，可考虑其上的 $\mathbb {A} _{F}-$点 $G(\mathbb {A} _{F})$。由于代数群总是线性的（换言之，可嵌入 $\mathrm {GL} (n)$），$G(\mathbb {A} _{F})$ 可以具体设想为系数布于环 $\mathbb {A} _{F}$ 上的线性群，并带有自然的拓扑结构。

最简单的情形是 $G=\mathbb {G} _{m}$，此时 $G(\mathbb {A} _{F})=\mathbb {A} _{F}^{\times }$ 称为 idèle 群，这是整体类域论的基石。在郎兰兹纲领中，须考虑更广泛的代数群，以描述数域的绝对伽罗瓦群。

文献

• J. W. S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Number Theory ISBN 0-12-163251-2