除以三
在数学中，除以三或三等分是指将一数学对象分割成3个相等的数学对象的操作。最知名的三等分问题为角的三等分问题，该问题已被证明单纯用尺规作图无法达成，而其他数学对象的三等分（如三等分线段）都可以轻易用尺规作图完成而角的三等份则无法。
数 编辑
在数论中，除以三或将一数平分为三等分即为被除数的除数（分母）是三、或乘以三分之一的动作，同时也可以表示分母为3的分数。一般会针对除以三的一些性质进行探讨，例如除以三的整除性，其可以透过数字根来检查[1]。
二进制 编辑
一般二进制电脑要计算除以三仍然可以有比一般除法快的特殊操作，但没有除以二那么简单，其做法为将二进制以两位为单位位移，并且使位移覆盖所有位置后加总其值，例如32为元整数要位移15次，每次位移2位，并且将这16个位移的结果加总，取前30位为商[2]。
三等分线段 编辑
将一个线段三等份仅需要在线段的其中之一端点作一射线，并从端点出发在射线上依序作出3个等距离的点，并将第三个点线段另一端点连线，并作平行于此线过射线上另外两点的直线，该两条直线与欲三等分的线段交于两点，则这两点则为欲三等分的线段之三等分点。简而言之，即将已知长度线段延长三倍获得一个已知的三等分线段后投影回欲三等分的线段即可完成线段的三等分。更具体的作法是已知线段AB[4]：
- 作一射线AC
- 在射线上以A为圆心固定半径r作弧，交射线于D
- 再以D为圆心固定半径r作弧，交射线于E
- 再以E为圆心固定半径r作弧，交射线于F
- 连FB
- 过E和F分别作出与FB平行的直线L和M
- L和M交线段AB于P和Q
- 则有AP=PQ=QB，此时P和Q为线段AB的三等分点
三等分矩形 编辑
将一矩形三等份可以透过将对角线与由某边上垂直平分线平分矩形为两个矩形的两个对角线的两交点平行于前述垂直平分线的直线将矩形分成三等分。具体作法是有一个矩形ABCD[5]：
- 作对角线AC
- 在BC上作垂直平分线，交矩形于EF
- EF将矩形平均分成两等分，ABFE和EFCD
- 作ABFE和EFCD的对角线EB和FD，并交AC于G和H
- 过G和H分别作出与EF平行的直线L和M
- L和K为矩形的三等分线
三等分角 编辑
三等分角是古希腊平面几何里尺规作图领域中的著名问题，与化圆为方及倍立方问题并列为尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？”
三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案[6] 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家皮埃尔·汪策尔首先利用伽罗瓦理论证明，这个问题的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度后，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。
如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已证明三等分角问题不可能之后后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。[6]
参见 编辑
参考文献 编辑
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Digit Sum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Steven, GB, Integer division by small constants, University of Hertfordshire, 1990
- ^ N.A.Krinitsky; G.A.Mironov; G.D.Frolov. Chapter 10. Program-controlled machine Setun. M.R.Shura-Bura (编). Programming. Moscow. 1963 （俄语）.
- ^ n等分一給定線段(1):用尺規 (PDF). mathsgreat.com. [2019-10-05]. （原始内容存档 (PDF)于2019-10-05）.
- ^ 摺A4三等分紙張. 昌爸工作坊. [2019-10-05]. （原始内容存档于2019-09-04）.
- ^ 6.0 6.1 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗？》. 原载于科学月刊第九卷第四期. episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. （原始内容存档于2014-06-23）.