数学 上，陈－韦伊同态 （英语：Chern–Weil homomorphism ）是陈－韦伊理论的基本构造，将一个光滑流形M 的曲率联系到M 的德拉姆上同调 群，也就是从几何到拓扑。这个理论由陈省身 和安德烈·韦伊 于1940年代建立，是发展示性类 理论的重要步骤。这个结果推广了陈-高斯-博内定理 。
记
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
实数域 或复数域 。设G 为实或复李群 ，有李代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
K
(
g
∗
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})}
为
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
多项式 的代数。设
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}
K
(
g
∗
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})}
G 的伴随作用 的不动点的子代数，故对所有
f
∈
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
{\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}
f
(
t
1
,
…
,
t
k
)
=
f
(
A
d
g
t
1
,
…
,
A
d
g
t
k
)
{\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{k})=f(Ad_{g}t_{1},\dots ,Ad_{g}t_{k})\,}
陈－韦伊同态 是从
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}
H
∗
(
M
,
K
)
{\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {K} )}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
M 上任何主G -丛 P 有唯一定义。若G 紧致，则于此同态下，G -丛B G 分类空间 的上同调环同构于不变多项式的代数
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}
H
∗
(
B
G
,
K
)
≅
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
.
{\displaystyle H^{*}(B^{G},\mathbb {K} )\cong \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.}
对于如SL(n ,R )的非紧致群，可能有上同调类无不变多项式的表示。
同态的定义
编辑
取P 中任何联络形式 w ，设
Ω
{\displaystyle \Omega }
曲率2-形式 。若
f
∈
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
{\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}
k 次齐次多项式，设
f
(
Ω
)
{\displaystyle f(\Omega )}
P 上的2k -形式，以下式给出
f
(
Ω
)
(
X
1
,
…
,
X
2
k
)
=
1
(
2
k
)
!
∑
σ
∈
S
2
k
ϵ
σ
f
(
Ω
(
X
σ
(
1
)
,
X
σ
(
2
)
)
,
…
,
Ω
(
X
σ
(
2
k
−
1
)
,
X
σ
(
2
k
)
)
)
{\displaystyle f(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))}
其中
ϵ
σ
{\displaystyle \epsilon _{\sigma }}
k 个数的对称群
S
2
k
{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}
σ
{\displaystyle \sigma }
普法夫值 。）
可证
f
(
Ω
)
{\displaystyle f(\Omega )}
是闭形式 ，故
d
f
(
Ω
)
=
0
,
{\displaystyle df(\Omega )=0,\,}
且
f
(
Ω
)
{\displaystyle f(\Omega )\,}
德拉姆上同调 类独立于在P 上的联络的选取，故只依赖于主丛。
因此设
ϕ
(
f
)
{\displaystyle \phi (f)\,}
是由上从f 得出的上同调类，故有代数同态
ϕ
:
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
→
H
∗
(
M
,
K
)
.
{\displaystyle \phi :\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}\rightarrow H^{*}(M,\mathbb {K} ).\,}
Bott, R. , On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups, Advances in Math, 1973, 11 : 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 Chern, S.-S. , Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951 Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0 , ISBN 3-540-90422-0 .
The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.
Chern, S.-S. ; Simons, J , Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics. Second Series, 1974, 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013 Kobayashi, S.; Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry , Vol. 2, Wiley-Interscience, 1963new ed. 2004 Narasimhan, M.; Ramanan, S., Existence of universal connections, Amer. J. Math., 1961, 83 : 563–572, JSTOR 2372896 doi:10.2307/2372896 Morita, Shigeyuki, Geometry of Differential Forms, A.M.S monograph, 2000, 201 
