双射记数

双射记数系统（Bijective numeration）是一种表示数字的位置数值系统，每个非负整数都可使用有限数字串表示。该名称“双射”指的是非负整数集和用有限符号集的有限字符串集间存在双射（即一一对应）。

大多数数字系统，例如十进制，都不是双射的；因为不止一串数字可以表示同一个正整数：添加前导零（英语：leading zero）不会改变表示的值，例如“1”、“01”、“001”都表示数字“1”。而一进制因为只有一个数字“1”所以必然“是”双射的。

双射进制-k记数系统是一个双射进位制。使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥1）编码正整数；值的位置定义为“k”的幂倍数。Smullyan (1961)称此为k-adic：用有限非零数字串表示普通整数的系统，而p-adic数是包含整数作为子集的一个数学值系统，并且可能需要无限数字序列表示。

定义

双射进位制使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥ 1）来唯一编码每个非负整数：

零由空字符串表示。
由非空数字串表示的整数

a n a n -1 ... a 1 a 0

=

a n k n + a n -1 k n -1 + ... + a 1 k 1 + a 0 k 0

.

表示整数的数字串m>0是 $a n a n -1 ... a 1 a 0$

当

{\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}

且

f(x)=\lceil x\rceil -1,

\lceil x\rceil

是不小于的最小整数x（上取整函数）

相反，标准进位制可用类似递归算法定义当

f(x)=\lfloor x\rfloor ,

扩展到整数

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在 $k>1$ 进制, the bijective base- $k$ numeration system could be extended to negative integers in the same way as the standard base- $b$ numeral system by use of an infinite number of the digit $d_{k-1}$ , where $f(d_{k-1})=k-1$ , represented as a left-infinite sequence of digits $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ . This is because the Euler summation

g({\overline {d_{k-1}}})=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1

meaning that

g({\overline {d_{k-1}}}d_{k})=f(d_{k})\sum _{i=1}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=0

and for every positive number $n$ with bijective numeration digit representation $d$ is represented by ${\overline {d_{k-1}}}d_{k}d$ . For base $k>2$ , negative numbers $n<-1$ are represented by ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ with $i<k-1$ , while for base $k=2$ , negative numbers $n<-1$ are represented by ${\overline {d_{k}}}d$ . This is similar to how in signed-digit representations, all integers $n$ with digit representations $d$ are represented as ${\overline {d_{0}}}d$ where $f(d_{0})=0$ . This representation is no longer bijective, as the entire set of left-infinite sequences of digits is used to represent the $k$ -adic integers, of which the integers are only a subset.

性质

对于 $k\geq 2$ 进制：

表示非负整数n的双射k进位位数是 $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ ^[1]，与 $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ 相比，k进制如果是“1”，位数就是n。
最小可表示为长度 $l\geq 0$ 的双射k进制数字的非负整数是 $min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ 。
最大可表示为长度 $l\geq 0$ 的双射k进制数字的非负整数是 $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ ，相当于 $max(l)=k\times min(l)$ 或 $max(l)=min(l+1)-1$ 。
非负整数n的双射k进制可和普通进制k相同，当且仅当普通进制不含数字“0”，或者等效地，双射进制既不是空字符串也不包含数字k。

对于进制 $k\geq 1$ ，

会有 $k^{l}$ 个双射进制，长度为 $l\geq 0$ 的k。^[2]
双射进制k的列表.。用λ表示空串，1、2、3、8、10、12、16为底的数如下（这里列出普通的表示方式以供比较）：

双射一进制	`λ`	`1`	`11`	`111`	`1111`	`11111`	`111111`	`1111111`	`11111111`	`111111111`	`1111111111`	`11111111111`	`111111111111`	`1111111111111`	`11111111111111`	`111111111111111`	`1111111111111111`	`...`
双射二进制	`λ`	`1`	`2`	`11`	`12`	`21`	`22`	`111`	`112`	`121`	`122`	`211`	`212`	`221`	`222`	`1111`	`1112`	`...`
二进制	`0`	`1`	`10`	`11`	`100`	`101`	`110`	`111`	`1000`	`1001`	`1010`	`1011`	`1100`	`1101`	`1110`	`1111`	`10000`	`...`
双射三进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`11`	`12`	`13`	`21`	`22`	`23`	`31`	`32`	`33`	`111`	`112`	`113`	`121`	`...`
三进制	`0`	`1`	`2`	`10`	`11`	`12`	`20`	`21`	`22`	`100`	`101`	`102`	`110`	`111`	`112`	`120`	`121`	`...`
双射八进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`18`	`...`
八进制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`20`	`...`
双射十进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
十进制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
双射十二进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
十二进制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
双射十六进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`G`	`...`
十六进制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`10`	`...`

例

双射五进制的34152 = 3×5⁴ + 4×5³ + 1×5² + 5×5¹ + 2×1 = 2427（十进制）
双射十进制119A（A代表数值10） = 1×10³ + 1×10² + 9×10¹ + 10×1 = 1200（十进制）
- 双射11进制B = 11（十进制）
- 双射35进制Z = 35（十进制）

双射十进制

双射十进制系统是一种以 10 为底的位置数字系统，不使用数字来表示零，而用一个数字代表十，例如 A。

与传统的十进制一样，每个数字位置代表十的幂，因此例如 123 是“一百，加上两个十，加上三个一”。所有在传统十进制中仅用非零数字表示的正整数（例如 123）在不带零的十进制中具有相同的表示形式。使用零的必须重写，例如10变为A，常规20变为1A，常规100变为9A，常规101变为A1，常规302变为2A2，常规1000变为99A，常规1110变为AAA，常规2010变为19AA ，等等。

不带零的十进制的加法和乘法本质上与传统十进制相同，只是当位置超过十时而不是超过九时发生进位。因此，要计算 643 + 759，有十二个个位（在右边写 2，十位进位 1）、十个十（记为 A，不需要进位到百位）、十三个百（在右边写 3，进位 1）、和一个千（写 1），得到结果 13A2 而不是传统的 1402。

双射二十六进制

在双射二十六进制系统中，可以使用拉丁字母A到Z来表示1到26。（A=1，B=2，C=3，...，Z=26）

通过选择这种表示法，数字序列（从 1 开始）开始为 A、B、C、...、X、Y、Z、AA、AB、AC、...、AX、AY、AZ、BA、BB、BC，...

每个数字位置代表二十六的幂，例如数字 ABC 代表十进制的 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731。

许多电子表格（包括 Microsoft Excel）使用此系统为电子表格的列分配标签，如 A、B、C、...、Z、AA、AB、...、AZ、BA、...、ZZ、AAA 。在 Excel 2013 中，最多可以有 16384（2¹⁴）列，从 A 到 XFD。^[3] 该系统的一个变体用于命名变星。^[4] 它可以应用于任何需要使用字母进行系统命名的问题，同时使字符串尽可能短。

历史

每个非负整数在双射 k (k ≥ 1) 进制中都有唯一的表示，这一事实是一个已被多次重新发现的“民间定理”。早期的例子是 Foster (1947) （对于 k = 10），以及 Smullyan (1961) 和 Böhm (1964) （对于所有 k ≥ 1）。Smullyan 使用该系统提供逻辑系统中符号串的哥德尔编号； Böhm 使用这些表示以编程语言 P′′ 执行计算。Knuth (1969) 提到了 k = 10 的特殊情况，Salomaa (1973) 讨论了 k ≥ 2 的情况。Forslund (1995) 似乎是另一个重新发现，并提出假设说如果古代计数系统使用双射 k 进制，可能由于人们普遍不熟悉这一系统，导致考古文献中并未发现这一点。

注释

^ How many digits are in the bijective base-k numeral for n?. Stackexchange. [22 September 2018].
^ Forslund (1995).
^ Harvey, Greg, Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, 2013, ISBN 9781118550007 .
^ Hellier, Coel, Appendix D: Variable star nomenclature, Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer: 197, 2001, ISBN 9781852332112 .

参考

Böhm, C., On a family of Turing machines and the related programming language, ICC Bulletin, July 1964, 3: 191 .
Forslund, Robert R., A logical alternative to the existing positional number system, Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1995, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664 .
Foster, J. E., A number system without a zero symbol, Mathematics Magazine, 1947, 21 (1): 39–41, JSTOR 3029479, doi:10.2307/3029479 .
Knuth, D. E., The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms 1st, Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195, 1969 . (Discusses bijective base-10.)
Salomaa, A., Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91, 1973 . (Discusses bijective base-k for all k ≥ 2.)
Smullyan, R., 9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers, Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies 47, Princeton University Press: 34–36, 1961 .

[1] How many digits are in the bijective base-k numeral for n?. Stackexchange. [22 September 2018].

[FOOTNOTEForslund1995-2] Forslund (1995).

[3] Harvey, Greg, Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, 2013, ISBN 9781118550007 .

[4] Hellier, Coel, Appendix D: Variable star nomenclature, Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer: 197, 2001, ISBN 9781852332112 .

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