双曲线

在数学中，双曲线（英语：hyperbola；希腊语：ὑπερβολή，意思是超过、超出）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是$a$的两倍，这里的$a$是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。$a$还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上，它们的中间点称为中心。

从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

使得$B^{2}>4AC$，这里的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对$(x,y)$的多于一个的解。

在笛卡尔坐标平面上，两个互为倒数的变量的图像是双曲线。

定义

共轭单位直角双曲线

上面已经列出：

• 平面切直角圆锥面的两半的交截线。
• 与两个固定点（称为焦点）距离差为常数的点的轨迹。
• 到一个焦点的距离和到一条直线（称为准线）的距离的比例是大于$1$的常数的点的轨迹。这个常数称为双曲线的离心率。

双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率$\pm {\frac {b}{a}}$，对于北南开口的双曲线有斜率$\pm {\frac {a}{b}}$。

双曲线有个性质，出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。

双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程$xy=c$给出，这里的$c$是常数。

如果对双曲线方程交换$x$和$y$，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。

笛卡尔坐标

中心位于$(h,k)$的左右开口的双曲线：

${\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1$

中心位于$(h,k)$的上下开口的双曲线：

${\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1$

实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。

在两个公式中，$a$是半实轴（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而$b$是半虚轴。

如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是$2b$，平行于实轴的两边的长度是$2a$，注意$b$可以大于$a$。

如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是$2a$。

直角双曲线$y={\tfrac {1}{x}}$的图像。

离心率给出自：

$e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

左右开口的双曲线的焦点是：$\left(h\pm c,k\right)$，其中c给出自$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。

上下开口的双曲线的焦点是：$\left(h,k\pm c\right)$，其中c给出自$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。

等轴双曲线

等轴双曲线的实轴与虚轴长相等，即$2a=2b$且$e={\sqrt {2}}$，此时渐近线方程为$y=\pm x$（无论焦点在$x$轴还是$y$轴）。

单位双曲线属于等轴双曲线，且半实轴和半虚轴的长均为$1$，即$a=b=1$，满足方程：

$x^{2}-y^{2}=1$或$y^{2}-x^{2}=1$。

对于以直线$x=h$和直线$y=k$为渐近线的直角双曲线：

$(x-h)(y-k)=c$

这种双曲线最简单的例子是：

$y={\frac {m}{x}}$

共轭双曲线

当双曲线$S'$的实轴是双曲线$S$的虚轴，且双曲线$S'$的虚轴是双曲线$S$的实轴时，称双曲线$S'$与双曲线$S$为共轭双曲线。若$S$的方程为

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

则$S'$的方程为

${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1.$

其特点为：

1. 共渐近线，与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。
2. 焦距相等。
3. 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于$1$。

极坐标

左右开口的双曲线：

$r^{2}=a^{2}\sec {2}\theta$

上下开口的双曲线：

$r^{2}=-a^{2}\sec {2}\theta$

上右下左开口的双曲线：

$r^{2}=a^{2}\csc {2}\theta$

上左下右开口的双曲线：

$r^{2}=-a^{2}\csc {2}\theta$

在所有公式中，中心在极点，而$a$是半实轴和半虚轴。

双曲线的参数方程

如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。 左右开口的双曲线：

${\begin{cases}x=a\sec {t}+h\\y=b\tan {t}+k\\\end{cases}}$

或

${\begin{cases}x=a\cosh {t}+h\\y=b\sinh {t}+k\\\end{cases}}$

上下开口的双曲线：

${\begin{cases}x=b\tan {t}+h\\y=a\sec {t}+k\\\end{cases}}$

或

${\begin{cases}x=b\sinh {t}+h\\y=a\cosh {t}+k\\\end{cases}}$

在所有公式中，$(h,k)$是双曲线的中点，$a$是半实轴而$b$是半虚轴。

双曲线的标准方程

焦点在$x$轴：${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

焦点在$y$轴：${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$

双曲线的渐近线方程

焦线平行于$x$轴：$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

焦线平行于$y$轴：$y=\pm {\frac {a}{b}}x$

圆锥曲线方程

$\rho ={\frac {ep}{1+e\cos \theta }}$

当$e>1$时，表示双曲线。其中$p$为焦点到准线距离，$\theta$为弦与$x$轴夹角。

外部链接

• Unit hyperbola. PlanetMath. 
• Conic section. PlanetMath. 
• Conjugate hyperbola. PlanetMath. 
• Mathworld - Hyperbola（页面存档备份，存于互联网档案馆）

参见

• 圆锥曲线
• 双曲函数