在數學中,雙曲線(英語:hyperbola;希臘語:ὑπερβολή,意思是超過、超出)是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。
它還可以定義為與兩個固定的點(稱為焦點)的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是
的兩倍,這裏的
是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。
還稱為雙曲線的半貫軸。焦點位於貫軸上,它們的中間點稱為中心。
從代數上說,雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線
![{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a694f3a0805f2f11868a2a69413866d64170409b)
使得
,這裏的所有系數都是實數,並存在定義在雙曲線上的點對
的多於一個的解。
在笛卡爾坐標平面上,兩個互為倒數的變量的圖像是雙曲線。
中心位於 的左右開口的雙曲線:
-
中心位於 的上下開口的雙曲線:
-
貫軸貫穿雙曲線的中心並交雙曲線兩臂於它們的頂點。焦點位於雙曲線貫軸的延長線上。共軛軸貫穿雙曲線中點並垂直於貫軸。
在兩個公式中, 是半貫軸(在雙曲線兩臂之間沿着貫軸測量的距離),而 是半共軛軸。
如果用雙曲線的兩個頂點的切線交漸近線形成一個矩形,在切線上的兩邊的長度是 ,平行於貫軸的兩邊的長度是 ,注意 可以大於 。
如果計算從雙曲線上任意準線上的點到每個焦點的距離,這兩個距離的差的絕對值總是 。
直角雙曲線 的圖像。
離心率給出自:
-
左右開口的雙曲線的焦點是: ,其中c給出自 。
上下開口的雙曲線的焦點是: ,其中c給出自 。
等軸雙曲線的貫軸與共軛軸長相等,即 且 ,此時漸近線方程為 (無論焦點在 軸還是 軸)。
單位雙曲線屬於等軸雙曲線,且半貫軸和半共軛軸的長均為 ,即 ,滿足方程:
- 或 。
對於以直線 和直線 為漸近線的直角雙曲線:
-
這種雙曲線最簡單的例子是:
-
當雙曲線 的貫軸是雙曲線 的共軛軸,且雙曲線 的共軛軸是雙曲線 的貫軸時,稱雙曲線 與雙曲線 為共軛雙曲線。若 的方程為
-
則 的方程為
-
其特點為:
- 共漸近線,與漸近線平行的直線和雙曲線有且只有一個交點。
- 焦距相等。
- 兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於 。
左右開口的雙曲線:
-
上下開口的雙曲線:
-
上右下左開口的雙曲線:
-
上左下右開口的雙曲線:
-
在所有公式中,中心在極點,而 是半貫軸和半共軛軸。
如同正弦和餘弦函數給出橢圓的參數方程,雙曲函數給出雙曲線的參數方程。
左右開口的雙曲線:
-
或
-
上下開口的雙曲線:
-
或
-
在所有公式中, 是雙曲線的中點, 是半貫軸而 是半共軛軸。