非结合代数

域上的代数,其中的乘法不必符合结合律


非结合代数[1]:Chapter 1(或分配代数,distributive algebra)是域上的代数,其中乘法不必遵循结合律。即,有代数结构AK,若AK上配备K-双线性乘法(不必符合结合律)的向量空间,则称其为K上的非结合代数。例如李代数约尔丹代数八元数、具备叉积的3维欧氏空间。由于乘法不必结合,须用括号表示乘法的顺序,比如(ab)(cd)、(a(bc))da(b(cd))的含义是不一样的。

这里的“非结合”是说不必结合,而非必不结合,就像非交换环的“非交换”是说“不必交换”。

若代数有单位元e,使得,则称代数是含幺的或的。例如,八元数是含幺的,而李代数绝不含幺。

A的非结合代数结构可与AK-自同态的全代数的子代数(是结合代数)相关联,作为K-向量空间研究。两个例子是微分代数(结合)包络代数,后者有“包含A的最小结合代数”的意味。

更一般地,有人提出交换环R上非结合代数的概念:具备R-双线性乘法的R-[1]:1若一结构服从除结合律外所有环的公理(如R代数),则就自然是-代数,所以有人称非结合-代数为非结合环

满足恒等式的代数

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具有两种二元运算、无其他限制的类环结构分很多种类,难以一同研究。所以,最为人所知的非结合代数要满足一些恒等式(即性质),这样稍微简化了乘法。一般来说有如下这些。

一般性质

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x, y, z表示域K上代数A的任意元素。 正整数次幂可以递归地定义为 [2]:553(右幂)或 [1]:30[1]:128(左幂)。

  • 含幺:存在元素e使得 ;这时可以定义 
  • 结合性 
  • 交换性 
  • 反交换性[1]:3 
  • 雅可比恒等式[1]:3[3]:12 
  • 约尔丹恒等式[1]:91[3]:13 
  • 交替性[1]:5[3]:18[4]:153 (左交替); (右交替)。
  • 柔性[1]:28[3]:16 
  • n次幂结合性(n ≥ 2): ,其中k是整数。
    • 三次幂结合性: 
    • 四次幂结合性: (比较下面的“四次幂交换性”)。
  • 幂结合性[1]:30[1]:128[3]:17[5]:451[2]:553任意元素生成的子代数结合,即对n ≥ 2,有n次幂结合。
  • n次幂交换性,其中n ≥ 2: ,其中k是整数。
    • 三次幂交换性: 
    • 四次幂交换性: (比较上面的“四次幂结合性”')。
  • 幂交换性:任意元素生成的子代数交换,即n次幂交换(n ≥ 2)。
  • 索引n ≥ 2的幂零:任意n个元素之积,在任意结合次序下为零,但n−1个元素时不总成立: 个元素y使得在某结合次序下 
  • 索引n ≥ 2的零:幂结合性 ,存在元素y使得 

性质之间的关系

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特征任意的K

  • 结合性推出交替性
  • 左交替右交替柔性知二推三。
    • 因此交替性推出柔性
  • 交替性推出约尔丹恒等式[6]:91[a]
  • 交换性导出柔性
  • 反交换性导出柔性
  • 交替性导出幂结合性[a]
  • 柔性导出三次幂结合性
  • 二次幂结合二次幂交换为真。
  • 三次幂结合三次幂交换等价。
  • n次幂结合推出n次幂交换
  • 索引2的零推出反交换性
  • 索引2的零推出约尔丹恒等式
  • 索引3的幂零推出雅可比恒等式
  • 索引n的幂零推出索引N的零,其中2 ≤ Nn
  • 含幺索引n的零不相容。

  

  • 约尔丹恒等式交换性共同推出幂结合性[7]:36[1]:92[8]:710

 

  • 右交替性推出幂结合性[9]:319[10]:179[11]:343[1]:148
    • 相似地,左交替性推出幂结合性
  • 含幺约尔丹恒等式共同推出柔性[12]:18
  • 约尔丹恒等式柔性共同推出幂结合性[12]:18–19,fact 6
  • 交换性反交换性共同推出索引2的幂零
  • 反交换性推出索引2的零
  • 含幺反交换不相容。

 

  • 含幺雅克比恒等式不相容。

 

  • 交换性 (定义四次幂结合性的两等式之一)共同推出幂结合性[2]:554,lemma 4

 

  • 三次幂结合性 (定义四次幂结合性的两等式之一)共同推出幂结合性[2]:554,lemma 3

 

  • 交换性反交换性等价。

结合子

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A上的结合子K-线性映射 

 

它度量了A非结合的程度,可以很方便地表示一些A满足的式子。

x, y, z表示域代数的任意元素。

  • 结合律: 
  • 交替性: (左交替)及 (右交替)。
    • 这意味着交换任意两项都会变号: 反例仅当 
  • 柔性: 
    • 可知,交换极值项将变号: 反例仅当 
  • 约尔丹恒等式:[1]:14  ,取决于学者。
  • 三次幂结合性: 

是与其他元素结合的元素的集合,[4]:56 ,使得

 

核是A的结合子环。

中心

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A中心是与A中所有元素都交换、结合的元素的集合,即

 

与核之交。对C(A)中的元素, 中两个集合若是 ,则第三个集合也是零集。

例子

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  • 欧几里得空间 ,乘法由叉积给出。这是反交换、非结合代数的例子。叉积还满足雅可比恒等式。
  • 李代数是满足反交换与雅可比恒等式的代数。
  • 微分流形上的向量场代数(若KRC)或代数簇(对一般的K);
  • 约尔丹代数是满足交换律与约尔丹恒等式的代数。[3]:13
  • 结合代数都可通过以交换子为李括号,给出李代数。实际上,李代数要么可以这样构造,要么是这样构造的李代数的子代数。
  • 定义新的乘法 ,则特征不是2的域上的结合代数给出约尔丹代数。与李代数不同,只有一部分约尔丹代数能这样构造,称作特殊约尔丹代数。
  • 交替代数是满足交替性的代数。最重要的例子是八元数(实数上的代数),以及八元数在其他域上的推广。结合代数都交替。在同构意义上,仅有的有限维实交替除代数(下详)是实数、复数、四元数和八元数。
  • 幂结合代数,是满足幂结合恒等式的代数。例如所有结合代数、所有交替代数、GF(2)以外任意域上的约尔丹代数(上详)与十六元数
  • R上的双曲四元数代数,是为解释狭义相对论而引入闵可夫斯基时空前的实验性代数。

更多种类代数:

性质

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环论与结合代数中的性质,对非结合代数来说不总成立,例如有(双边)乘法逆元的元素也可能是零除子十六元数所有非零元都有双边逆,而其中有些是零除子。

自由非结合代数

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K上集合X上的自由非结合代数定义为基包含所有非结合单项式的代数,X的元素的有限形式积写出圆括号,例如单项式uv之积只是 若取空积为单项式,则代数含幺。[13]:321

Kurosh证明,自由非结合代数的子代数都是自由的。[14]:237–262

结合代数

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K上的代数A若是K-向量空间,可考虑AK-线性向量空间内自同态的结合代数 。可将 的两子代数关联到A上的代数结构:微分代数(结合)包络代数

微分代数

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A上的导子是映射D,具有性质

 

A上的导子形成了子空间 。两导子的交换子仍是导子,所以李括号给出 ,具有李代数结构。[1]:4

包络代数

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代数A的元素a都附有线性映射LR[3]:24

 

A结合包络代数乘法代数是由左右线性映射生成的结合代数。[1]:14[15]:113A中心体(centoid)是自同态代数 中的包络代数的中心化子。若代数的中心体包含单位元的K-标量乘,则称代数是中心的[5]:451

非结合代数满足的部分可能等式可用线性映射方便地表示:[4]:57

  • 交换性:L(a)等于相应的R(a);
  • 结合性:L与任意R交换;
  • 柔性:L(a)都与相应的R(a)交换;
  • 约尔丹:L(a)与 交换;
  • 交替: ,右式亦如此。

二次表示Q定义为[16]:57

 ,

等价地

 

泛包络代数条目描述了包络代数的规范构造,及它们的PBW型定理。对于李代数,这样的包络代数具有泛性质,但对其他非结合代数通常不成立。最知名的例子可能是阿尔伯特代数,是一种特殊的约尔丹代数,不能用约尔丹代数的包络代数的规范结构来包络。

脚注

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注释

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  1. ^ 1.0 1.1 阿廷定理

参考文献

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