非結合代數

域上的代数,其中的乘法不必符合结合律


非結合代數[1]:Chapter 1(或分配代數,distributive algebra)是域上的代數,其中乘法不必遵循結合律。即,有代數結構AK,若AK上配備K-雙線性乘法(不必符合結合律)的向量空間,則稱其為K上的非結合代數。例如李代數約爾丹代數八元數、具備叉積的3維歐氏空間。由於乘法不必結合,須用括號表示乘法的順序,比如(ab)(cd)、(a(bc))da(b(cd))的含義是不一樣的。

這裡的「非結合」是說不必結合,而非必不結合,就像非交換環的「非交換」是說「不必交換」。

若代數有單位元e,使得,則稱代數是含么的或的。例如,八元數是含么的,而李代數絕不含么。

A的非結合代數結構可與AK-自同態的全代數的子代數(是結合代數)相關聯,作為K-向量空間研究。兩個例子是微分代數(結合)包絡代數,後者有「包含A的最小結合代數」的意味。

更一般地,有人提出交換環R上非結合代數的概念:具備R-雙線性乘法的R-[1]:1若一結構服從除結合律外所有環的公理(如R代數),則就自然是-代數,所以有人稱非結合-代數為非結合環

滿足恆等式的代數

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具有兩種二元運算、無其他限制的類環結構分很多種類,難以一同研究。所以,最為人所知的非結合代數要滿足一些恆等式(即性質),這樣稍微簡化了乘法。一般來說有如下這些。

一般性質

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x, y, z表示域K上代數A的任意元素。 正整數次冪可以遞歸地定義為 [2]:553(右冪)或 [1]:30[1]:128(左冪)。

  • 含么:存在元素e使得 ;這時可以定義 
  • 結合性 
  • 交換性 
  • 反交換性[1]:3 
  • 雅可比恆等式[1]:3[3]:12 
  • 約爾丹恆等式[1]:91[3]:13 
  • 交替性[1]:5[3]:18[4]:153 (左交替); (右交替)。
  • 柔性[1]:28[3]:16 
  • n次冪結合性(n ≥ 2): ,其中k是整數。
    • 三次冪結合性: 
    • 四次冪結合性: (比較下面的「四次冪交換性」)。
  • 冪結合性[1]:30[1]:128[3]:17[5]:451[2]:553任意元素生成的子代數結合,即對n ≥ 2,有n次冪結合。
  • n次冪交換性,其中n ≥ 2: ,其中k是整數。
    • 三次冪交換性: 
    • 四次冪交換性: (比較上面的「四次冪結合性」')。
  • 冪交換性:任意元素生成的子代數交換,即n次冪交換(n ≥ 2)。
  • 索引n ≥ 2的冪零:任意n個元素之積,在任意結合次序下為零,但n−1個元素時不總成立: 個元素y使得在某結合次序下 
  • 索引n ≥ 2的零:冪結合性 ,存在元素y使得 

性質之間的關係

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特徵任意的K

  • 結合性推出交替性
  • 左交替右交替柔性知二推三。
    • 因此交替性推出柔性
  • 交替性推出約爾丹恆等式[6]:91[a]
  • 交換性導出柔性
  • 反交換性導出柔性
  • 交替性導出冪結合性[a]
  • 柔性導出三次冪結合性
  • 二次冪結合二次冪交換為真。
  • 三次冪結合三次冪交換等價。
  • n次冪結合推出n次冪交換
  • 索引2的零推出反交換性
  • 索引2的零推出約爾丹恆等式
  • 索引3的冪零推出雅可比恆等式
  • 索引n的冪零推出索引N的零,其中2 ≤ Nn
  • 含么索引n的零不相容。

  

  • 約爾丹恆等式交換性共同推出冪結合性[7]:36[1]:92[8]:710

 

  • 右交替性推出冪結合性[9]:319[10]:179[11]:343[1]:148
    • 相似地,左交替性推出冪結合性
  • 含么約爾丹恆等式共同推出柔性[12]:18
  • 約爾丹恆等式柔性共同推出冪結合性[12]:18–19,fact 6
  • 交換性反交換性共同推出索引2的冪零
  • 反交換性推出索引2的零
  • 含么反交換不相容。

 

  • 含么雅克比恆等式不相容。

 

  • 交換性 (定義四次冪結合性的兩等式之一)共同推出冪結合性[2]:554,lemma 4

 

  • 三次冪結合性 (定義四次冪結合性的兩等式之一)共同推出冪結合性[2]:554,lemma 3

 

  • 交換性反交換性等價。

結合子

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A上的結合子K-線性映射 

 

它度量了A非結合的程度,可以很方便地表示一些A滿足的式子。

x, y, z表示域代數的任意元素。

  • 結合律: 
  • 交替性: (左交替)及 (右交替)。
    • 這意味著交換任意兩項都會變號: 反例僅當 
  • 柔性: 
    • 可知,交換極值項將變號: 反例僅當 
  • 約爾丹恆等式:[1]:14  ,取決於學者。
  • 三次冪結合性: 

是與其他元素結合的元素的集合,[4]:56 ,使得

 

核是A的結合子環。

中心

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A中心是與A中所有元素都交換、結合的元素的集合,即

 

與核之交。對C(A)中的元素, 中兩個集合若是 ,則第三個集合也是零集。

例子

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  • 歐幾里得空間 ,乘法由叉積給出。這是反交換、非結合代數的例子。叉積還滿足雅可比恆等式。
  • 李代數是滿足反交換與雅可比恆等式的代數。
  • 微分流形上的向量場代數(若KRC)或代數簇(對一般的K);
  • 約爾丹代數是滿足交換律與約爾丹恆等式的代數。[3]:13
  • 結合代數都可通過以交換子為李括號,給出李代數。實際上,李代數要麼可以這樣構造,要麼是這樣構造的李代數的子代數。
  • 定義新的乘法 ,則特徵不是2的域上的結合代數給出約爾丹代數。與李代數不同,只有一部分約爾丹代數能這樣構造,稱作特殊約爾丹代數。
  • 交替代數是滿足交替性的代數。最重要的例子是八元數(實數上的代數),以及八元數在其他域上的推廣。結合代數都交替。在同構意義上,僅有的有限維實交替除代數(下詳)是實數、複數、四元數和八元數。
  • 冪結合代數,是滿足冪結合恆等式的代數。例如所有結合代數、所有交替代數、GF(2)以外任意域上的約爾丹代數(上詳)與十六元數
  • R上的雙曲四元數代數,是為解釋狹義相對論而引入閔可夫斯基時空前的實驗性代數。

更多種類代數:

性質

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環論與結合代數中的性質,對非結合代數來說不總成立,例如有(雙邊)乘法逆元的元素也可能是零除子十六元數所有非零元都有雙邊逆,而其中有些是零除子。

自由非結合代數

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K上集合X上的自由非結合代數定義為基包含所有非結合單項式的代數,X的元素的有限形式積寫出圓括號,例如單項式uv之積只是 若取空積為單項式,則代數含么。[13]:321

Kurosh證明,自由非結合代數的子代數都是自由的。[14]:237–262

結合代數

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K上的代數A若是K-向量空間,可考慮AK-線性向量空間內自同態的結合代數 。可將 的兩子代數關聯到A上的代數結構:微分代數(結合)包絡代數

微分代數

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A上的導子是映射D,具有性質

 

A上的導子形成了子空間 。兩導子的交換子仍是導子,所以李括號給出 ,具有李代數結構。[1]:4

包絡代數

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代數A的元素a都附有線性映射LR[3]:24

 

A結合包絡代數乘法代數是由左右線性映射生成的結合代數。[1]:14[15]:113A中心體(centoid)是自同態代數 中的包絡代數的中心化子。若代數的中心體包含單位元的K-純量乘,則稱代數是中心的[5]:451

非結合代數滿足的部分可能等式可用線性映射方便地表示:[4]:57

  • 交換性:L(a)等於相應的R(a);
  • 結合性:L與任意R交換;
  • 柔性:L(a)都與相應的R(a)交換;
  • 約爾丹:L(a)與 交換;
  • 交替: ,右式亦如此。

二次表示Q定義為[16]:57

 ,

等價地

 

泛包絡代數條目描述了包絡代數的規範構造,及它們的PBW型定理。對於李代數,這樣的包絡代數具有泛性質,但對其他非結合代數通常不成立。最知名的例子可能是阿爾伯特代數,是一種特殊的約爾丹代數,不能用約爾丹代數的包絡代數的規範結構來包絡。

腳註

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注釋

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  1. ^ 1.0 1.1 阿廷定理

參考文獻

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