高过剩数highly abundant number)是指一正整数.其除数函数(含本身的所有约数和)大于所有较小正整数的除数函数。

高过剩数及一些有类似特性的整数最早是由皮莱英语Subbayya Sivasankaranarayana Pillai在1943年提出的[1]莱昂尼达斯·Alaoglu英语Alaoglu保罗·埃尔德什进行了一些相关的研究.列出了所有小于104的高过剩数,并证明小于整数N的高过剩数个数至少和log2 N成正比。他们也证明了7200是高过剩数中最大的幂数,也是其有奇数个约数的最大高过剩数[2]

定义及举例

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自然数n为高过剩数,当且仅当对于所有小于n的自然数m,下式恒成立:

 

其中σ为除数函数

头几个高过剩数为:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... (OEIS数列A002093).

以5为例,σ(5) = 5+1 = 6小于σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7,因此5不是高过剩数,而σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15大于所有较小正整数的除数函数,因此8是高过剩数。

和其他整数的关系

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虽然前8个阶乘的结果都是高过剩数,不过不是所有阶乘的结果均为高过剩数

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

但有数字较9!小,而除数函数比σ(9!)大

σ(360360) = 1572480,

因此9!不是高过剩数。

Alaoglu及保罗·埃尔德什发现所有的超过剩数都是高过剩数,因此提出一个问题:是否存在着无限多个不是超过剩数的高过剩数。数学家尼可拉斯在1969年证实了上述的问题[3]

高过剩数和过剩数名称中都有“过剩数”一词,其中也有一些数字重复,但不是所有的高过剩数都是过剩数,前7个高过剩数都不是过剩数,也不是所有的过剩数都是高过剩数,例如数字40为过剩数,不是高过剩数。

参考资料

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  1. ^ Pillai, S. S. Highly abundant numbers. Bull. Calcutta Math. Soc. 1943, 35: 141–156. MR 0010560. 
  2. ^ Alaoglu, L.; Erdős, P. On highly composite and similar numbers. Transactions of the American Mathematical Society. 1944, 56 (3): 448–469. JSTOR 1990319. MR 0011087. doi:10.2307/1990319. 
  3. ^ *Nicolas, Jean-Louis. Ordre maximal d'un élément du groupe Sn des permutations et "highly composite numbers". Bull. Soc. Math. France. 1969, 97: 129–191 [2013-01-16]. MR 0254130. (原始内容存档于2021-05-14).