黎曼曲率张量

在微分几何中，黎曼曲率张量或黎曼张量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率，包括无扭率或有挠率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络) $\nabla$ (或者叫协变导数)由下式给出:

R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.

这里 $R(u,v)$ 是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。

注意有些作者用相反的符号定义曲率.

如果 $u=\partial /\partial x_{i}$ 与 $v=\partial /\partial x_{j}$ 是坐标向量场则 $[u,v]=0$ 所以公式简化为

R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w

也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。

线性变换 $w\mapsto R(u,v)w$ 也称曲率变换。

对称性和恒等式

进一步,由上式定义了如下的三重线性映射

映射 $R$ 关于每一个自变量都是 $C^{\infty }$ 线性的, 故 $R$ 是 $M$ 上的 $(1,3)$ 型光滑张量场, 称之为仿射联络空间 $(M,\nabla )$ 的曲率张量. 在坐标向量场下， $R$ 可以表示为

$R=R_{kij}^{l}dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.$

还可以定义四重线性映射，如下

则映射 $R$ 关于每一个自变量都是 $C^{\infty }$ 线性的, 故 $R$ 是黎曼流形 $(M,g)$ 上的 $(0,4)$ 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 $(M,g)$ 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, $R$ 可以表示为

黎曼曲率张量有如下的对称性:

最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有 $n^{2}(n^{2}-1)/12$ 个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}

比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:

\nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0

给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:

第二（微分）比安基恒等式： $\nabla _{e}R_{abcd}+\nabla _{d}R_{abec}+\nabla _{c}R_{abde}=0\,$ 或等价地写为 $R_{ab[cd;e]}=0\,$

其中方括号表示对下标的反对称化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。