黎曼曲率張量

微分幾何中,黎曼曲率張量黎曼張量是表達黎曼流形的曲率的標準方式,更普遍的,它可以表示有仿射聯絡流形的曲率,包括無扭率或有撓率的。曲率張量通過列維-奇維塔聯絡(更一般的,一個仿射聯絡)(或者叫協變導數)由下式給出:

這裡是一個流形切空間的線性變換;它對於每個參數都是線性的。

注意有些作者用相反的符號定義曲率.

如果 是坐標向量場則所以公式簡化為

也就是說曲率張量衡量協變導數的反交換性

線性變換也稱曲率變換

對稱性和恆等式

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進一步,由上式定義了如下的三重線性映射

  •  

映射 關於每一個自變量都是 線性的, 故  上的 型光滑張量場, 稱之為仿射聯絡空間 的曲率張量. 在坐標向量場下,  可以表示為

  •  

還可以定義四重線性映射,如下

  •  

則映射  關於每一個自變量都是  線性的, 故 是黎曼流形 上的   型光滑張量場, 稱之為黎曼流形   的黎曼曲率張量. 在坐標向量場下,   可以表示為

  •  
  • 註:上述紡射聯絡空間  上的曲率張量  與黎曼流形   上的黎曼曲率張量   是同一個對象的不同表現形式.
  •  .

黎曼曲率張量有如下的對稱性:

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  •  
  •  

最後一個恆等式由里奇發現,但是稱為第一比安基恆等式(First Bianchi identity)或代數比安基恆等式(Algebraic Bianchi identity),因為和下面的比安基恆等式相像。

這三個恆等式組成曲率張量對稱性的完整列表,也就是給定說任何滿足上述恆等式的張量,可以找到一個黎曼流形在某點的曲率張量和它一樣。簡單的計算表明這樣一個張量有 個獨立分量。

另一個有用的恆等式可以由上面這些導出:

 

比安基恆等式(Bianchi identity),經常也叫第二比安基恆等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恆等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到協變導數:

 

給定流形某點的任一坐標表示,上述恆等式可以用黎曼曲率張量的分量形式表示為:

  •  
  •  
  • 第一(代數)比安基恆等式: 或等價地寫為 
  • 第二(微分)比安基恆等式: 或等價地寫為 

其中方括號表示對下標的反對稱化,分號表示協變導數。這些恆等式在物理中有應用,特別是廣義相對論

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