十七边形

十七边形是指几何学中有17条边及17只角的多边形。其内角和为2700°，有119条对角线。

正十七边形
一个正十七边形
类型	正多边形
对偶	正十七边形（本身）
边	17
顶点	17
对角线	119
施莱夫利符号	{17}
考克斯特符号
对称群	二面体群 (D17), order 2×17
面积	${\frac {17}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{17}}$ $\approx 22.735491898417a^{2}$
内角（度）	${\frac {2700}{17}}^{\circ }=\,$$158{\frac {14}{17}}$ o 158.82352941176°
内角和	2700°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形

正十七边形是有17边的正多边形。正十七边形的每个内角为158.8235294117647058度。

作图方法

作图

1796年高斯证明了可以用尺规作图作出正十七边形，同时发现了可作图多边形的条件。正十七边形其中一个作图方法如下：

英文里，詹·何顿·康威认为heptadecagon是错误的拼法，应为heptakaidecagon。

可作图性亦同时显示2π/17的三角函数可以只用基本算术和平方根来表示。高斯的书Disquisitiones包含了这条等式：

$\operatorname {cos} {2\pi \over 17}={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}.$

证明

设正十七边形中心角为$\alpha$,则$17\alpha =360^{\circ }$度,

即$16\alpha =360^{\circ }-\alpha$

故$\sin 16\alpha =-\sin \alpha$，而

${\begin{aligned}\sin 16\alpha &=2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{2}\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{4}\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\\end{aligned}}$

因为$\sin \alpha \neq 0$，则

$16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1$

又由 $2\cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )$等，有

$2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1$

而$\cos 15\alpha =\cos 2\alpha$，$\cos 12\alpha =\cos 5\alpha$，令

$x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha$

$y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha$

有：

$x+y=-{\frac {1}{2}}$

又

${\begin{aligned}xy&=(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\&={\frac {1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\&=-1\\\end{aligned}}$

所以，得

$x={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}$

$y={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}$

另设:

$x_{1}=\cos \alpha +\cos 4\alpha$，$x_{2}=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha$，

$y_{1}=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha$，$y_{2}=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha$

故有

$x_{1}+x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}$

$y_{1}+y_{2}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}$

最后，由

$\cos \alpha +\cos 4\alpha =x_{1}$

$\cos \alpha \cos 4\alpha ={\frac {y_{1}}{2}}$

可得

$\cos \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}$

其为整数加减乘除平方根的组合，故正十七边形可用尺规作出。

外部链接

以下的几个网页均有介绍如何正十七边形的尺规作图：

• http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html （朝鲜文）
• https://web.archive.org/web/19991111063410/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html （英文）
• http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html（页面存档备份，存于互联网档案馆） （英文）