多边形

多边形，是平面上封闭的几何图形，或者说是由2条以上在同一平面的线段首尾相连组成的形状。

多边形的分类。由左至右分别为：三角形、矩形、凹多边形和复杂多边形。

术语

顶点

指多边形中任何两边相交所形成的交点或锥体的尖顶。

边

内角

顶点相邻的两边所组成的角度。n边形的内角和为(n-2)×180°

外角

对于某内角来说，其相应的外角角度为180°减去内角角度，多边形的所有外角之和恒等于360°。

对角线

以不毗连顶点为端点的线段

分类

简单多边形

简单多边形是边不相交的多边形，又称佐敦多边形，因为佐敦曲线定理可以用来证明这样的多边形能将平面分成两个区域，即区内和区外。

在拓扑学上，简单多边形和圆盘同胚。

在计算几何学有几个重要问题，其输入都是简单多边形：

• 点在多边形内：决定一点是否在多边形内
• 求多边形面积
• 将多边型切割成三角形

按凸性区分，简单多边形分凸多边形和凹多边形，“凸”的表示它的内角都不大于180°，凹反之。

其他的特殊多边形还有：

圆内接多边形：顶点都在同一个圆上的多边形。

圆外切多边形：边都跟同一个圆相切的多边形。

等边多边形：各边之长都相等的多边形。

等角多边形：各内角都相等的多边形。

正多边形

主条目：正多边形

正多边形是各边都等长，各内角都相等的多边形，可分为两种：凸正多边形与凹正多边形。谈及“正多边形”时一般指前者，后者一般称作正多角星。对于指定的边数，它们都是唯一的，比如正五边形与正五角星。在边数相同、周长相等的多边形中，凸正多边形面积最大（参见等周问题 ）。

当且仅当边数是2的幂乘费马质数时，正多边形可以用尺规作出（参见可作图多边形）。

• 面积：$A\ =\ {\frac {n}{2}}\,a\,r_{i}\ =\ {\frac {n}{2}}\,r_{u}^{2}\,\sin {\frac {2\pi }{n}}\ =\ {\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}$

• 内切圆半径：${\frac {a}{2}}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}$

• 外接圆半径：${\frac {a}{2\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}$

公式

面积

对用$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})$（按逆时针排列）描述的多边形，其面积为：

$A={\frac {1}{2}}\left({\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}x_{n}&y_{n}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}\right)$

若按顺时针排列，取负数即可。
对用边长$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$和外角$\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n}$描述的多边形，其面积为：

${\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}\{a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]\}\end{aligned}}$

用边长和内角描述如下
N边形S=${\frac {\sum {(-1)^{k}mn\sin {\theta }}}{2}}$这个代表N边形已知（N-1）个边的长度，而且知道其中任意两边的夹角，对于这两边$(-1)^{k}mn\sin {\theta }$求和后的一半便是面积
注明：K=0或1，目的是为了表明每个因式$mn\sin {\theta }$的正负号与M，N的交点位置有关

参见

• 多面体
• 退化多边形

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Polygon. MathWorld. 
• What Are Polyhedra?, with Greek Numerical Prefixes
• Polygons, types of polygons, and polygon properties（页面存档备份，存于互联网档案馆）, with interactive animation
• How to draw monochrome orthogonal polygons on screens, by Herbert Glarner
• comp.graphics.algorithms Frequently Asked Questions, solutions to mathematical problems computing 2D and 3D polygons
• Comparison of the different algorithms for Polygon Boolean operations, compares capabilities, speed and numerical robustness
• Interior angle sum of polygons: a general formula （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Provides an interactive Java investigation that extends the interior angle sum formula for simple closed polygons to include crossed (complex) polygons
• [ http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/106(396-405)/398-PDF/13-24_105032-%E9%A0%90%E6%B8%AC%E8%88%87%E9%A9%97%E8%AD%89%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%B8%E5%A4%9A%E9%82%8A%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F(I)%20(%E4%BF%AE%E6%94%B9).pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）], To predict and verify the area formula of planar convex polygon (I), by Hui-Pin Lee. Science Education Monthly No. 398, May 2017 , NTNU.
• [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, To predict and verify the area formula of planar convex polygon (II), by Hui-Pin Lee. Science Education Monthly No. 399, June 2017 , NTNU.