2的12次方根

2的12次方根
2的12次方根
	数表—无理数; - - - - - -
识别
种类	无理数
符号
位数数列编号	A010774
性质
连分数	[1; 16, 1, 4, 2, 7, 1, 1, 2, 2, 7, 4, 1, 2, 1, 60, 1, 3, 1, 2]
以此为根的多项式或函数
表示方式
值	1.05946309...
二进制	1.00001111001110001111100100101101…
十进制	1.05946309435929526456182529494634…
十六进制	1.0F38F92D97962CBCB533704A0D391B84…
	查; 论; 编;

2的12次方根是一个代数无理数，计为 ${\sqrt[{12}]{2}}$ 或 $2^{\frac {1}{12}}$ ，是方程式 $x^{12}-2=0$ 的正实根。它是音乐理论中的一个重要常数，它代表了十二平均律中半音的频率比。

数值

${\sqrt[{12}]{2}}$ 的近似值为1.0594630943593，其值略高于 ${\frac {18}{17}}$ ^[1] ≈ 1.0588。更好的近似值为 ${\frac {196}{185}}$ ≈ 1.059459或 ${\frac {18904}{17843}}$ ≈ 1.0594630948。

性质

方程式 $x^{12}-2=0$ 的正实根
超体积为2的12维超立方体之边长
其值约为1.0594630943593 （OEIS数列A010774）
其连分数为：
${\sqrt[{12}]{2}}=1+{\frac {1}{16+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}$ （OEIS数列A103922）

半音音阶

因为音程是频率的比例，等于平均律半音音阶划分八度（具有2:1的比例）成12等份。

利用此比值，以半音音阶的音调从最接近且高于中央C的A以频率440开始，产生音高的顺序与波的频率如下：

音符	频率 Hz	倍率	系数（六处）
A	440.00	2^0/12	1.000000
A♯/B♭	466.16	2^1/12	1.059463
B	493.88	2^2/12	1.122462
C	523.25	2^3/12	1.189207
C♯/D♭	554.37	2^4/12	1.259921
D	587.33	2^5/12	1.334839
D♯/E♭	622.25	2^6/12	1.414213
E	659.26	2^7/12	1.498307
F	698.46	2^8/12	1.587401
F♯/G♭	739.99	2^9/12	1.681792
G	783.99	2^10/12	1.781797
G♯/A♭	830.61	2^11/12	1.887748
A	880.00	2^12/12	2.000000

最终的A（880 Hz）的频率为初始的A（440 Hz）的两倍，也就是说，他们差了八度。

间距调整

由于一个半音的频率比接近106％，一个录音的播放速度增加或减慢6％将会使音高向上或向下一个半音移位“半步”。

参见

参考文献

^ 卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学

Barbour, J.M.. A Sixteenth Century Approximation for Pi, The American Mathematical Monthly, Vol. 40, no. 2, 1933. Pp. 69–73.
Ellis, Alexander and Hermann Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications, 1954. ISBN 0-486-60753-4
Partch, Harry. Genesis of a Music. Da Capo Press, 1974. ISBN 0-306-80106-X

[1] 卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学

[1]