贝尔曼-福特算法

贝尔曼-福特算法（英语：Bellman–Ford algorithm），求解单源最短路径问题的一种算法，由理查德·贝尔曼和小莱斯特·伦道夫·福特创立。有时候这种算法也被称为贝尔曼-福特-摩尔算法（Bellman–Ford–Moore algorithm），因为爱德华·F·摩尔也为这个算法的发展做出了贡献。它的原理是对图进行$|V|-1$次松弛操作，得到所有可能的最短路径。其优于戴克斯特拉算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高，高达$O(|V||E|)$。但算法可以进行若干种优化，提高了效率。

贝尔曼-福特算法
概况
类别	最短路径问题（针对带权有向图）
数据结构	图
复杂度
最坏时间复杂度	$O\left(|V||E|\right)$
最优时间复杂度	$\Theta (|E|)$
空间复杂度	$O(|V|)$
相关变量的定义

算法

在这个图中，假设A是起点，并且边以最坏的顺序处理，从右到左，需要$|V|-1$步或$4$次计算路径长度。相反地，若边以最优顺序处理，从左到右，算法只需要在一次遍历内完成。

贝尔曼-福特算法与戴克斯特拉算法类似，都以松弛操作为基础，即估计的最短路径值渐渐地被更加准确的值替代，直至得到最优解。在两个算法中，计算时每个边之间的估计距离值都比真实值大，并且被新找到路径的最小长度替代。 然而，戴克斯特拉算法以贪心法选取未被处理的具有最小权值的节点，然后对其的出边进行松弛操作；而贝尔曼-福特算法简单地对所有边进行松弛操作，共$|V|-1$次，其中$|V|$是图的点的数量。在重复地计算中，已计算得到正确的距离的边的数量不断增加，直到所有边都计算得到了正确的路径。这样的策略使得贝尔曼-福特算法比戴克斯特拉算法适用于更多种类的输入。

贝尔曼-福特算法的最多运行$O(|V|\cdot |E|)$（大O符号）次，$|V|$和$|E|$分别是节点和边的数量）。

伪代码

procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
   // 讀入邊和節點的列表 
   // 初始化圖distance為∞，predecessor為空
   for each vertex v in vertices:
       if v is source then distance[v] := 0
       else distance[v] := infinity
       predecessor[v] := null
   // 對所有節點
   for i from 1 to size(vertices)-1:
        //檢查每條邊
       for each edge (u, v) with weight w in edges:
           if distance[u] + w < distance[v]:
               distance[v] := distance[u] + w
               predecessor[v] := u

   // 檢查是否有負權重的迴路
   for each edge (u, v) with weight w in edges:
       if distance[u] + w < distance[v]:
           error "圖包含負權重的迴路"

原理

循环

每次循环操作实际上是对相邻节点的访问，第$n$次循环操作保证了所有深度为n的路径最短。由于图的最短路径最长不会经过超过$|V|-1$条边，所以可知贝尔曼-福特算法所得为最短路径。

负边权操作

与戴克斯特拉算法不同的是，戴克斯特拉算法的基本操作“拓展”是在深度上寻路，而“松弛”操作则是在广度上寻路，这就确定了贝尔曼-福特算法可以对负边进行操作而不会影响结果。

负权环判定

因为负权环可以无限制的降低总花费，所以如果发现第$n$次操作仍可降低花销，就一定存在负权环。

查找负回路

当使用这个算法查找最短路径时，有负回路会使算法找不到正确的答案。但是，由于在找到负回路后会中止算法，所以可以被用来查找目标，例如在网络流分析中的消圈算法(Cycle Cancellation Algorithms)

优化

循环的提前跳出

在实际操作中，贝尔曼-福特算法经常会在未达到$|V|-1$次前就出解，$|V|-1$其实是最大值。于是可以在循环中设置判定，在某次循环不再进行松弛时，直接退出循环，进行负权环判定。

队列优化

主条目：最短路径快速算法

西南交通大学的段凡丁于1994年提出了用队列来优化的算法。松弛操作必定只会发生在最短路径前导节点松弛成功过的节点上，用一个队列记录松弛过的节点，可以避免了冗余计算。原文中提出该算法的复杂度为$O(k|E|)$，$k$是个比较小的系数，但该结论被证明不适于于所有情况。

Pascal语言示例

Begin
  initialize-single-source(G,s);
  initialize-queue(Q);
  enqueue(Q,s);
  while not empty(Q) do 
    begin
      u:=dequeue(Q);
      for each v∈adj[u] do 
        begin
          tmp:=d[v];
          relax(u,v);
          if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then
            enqueue(Q,v);
        end;
    end;
End;

C++语言示例

int SPFA(int s) {
	std::queue<int> q;
	bool inq[maxn] = {false};
	for(int i = 1; i <= N; i++) dis[i] = 2147483647;
	dis[s] = 0;
	q.push(s); inq[s] = true;
	while(!q.empty()) {
		int x = q.front(); q.pop();
		inq[x] = false;
		for(int i = front[x]; i !=0 ; i = e[i].next) {
			int k = e[i].v;
			if(dis[k] > dis[x] + e[i].w) {
				dis[k] = dis[x] + e[i].w;
				if(!inq[k]) {
					inq[k] = true;
					q.push(k);
				}
			}
		}
	}
	for(int i =  1; i <= N; i++) std::cout << dis[i] << ' ';
	std::cout << std::endl;
	return 0;
}

样例

例：

$V=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\},E=\{(v_{1},v_{2}),(v_{1},v_{3}),(v_{2},v_{4}),(v_{4},v_{3})\}$，$weight(v_{1},v_{2})=-1,weight(v_{1},v_{3})=3,weight(v_{2},v_{4})=3,weight(v_{4},v_{3})=-1$。

运行如表： $D:{\texttt {Dist}}[v],P:{\texttt {Pred}}[v]$

点	$v_{1}$	$v_{2}$	$v_{3}$	$v_{4}$
	$D/P$	$D/P$	$D/P$	$D/P$
初始化	$0/{\texttt {null}}$	$\infty /{\texttt {null}}$	$\infty /{\texttt {null}}$	$\infty /{\texttt {null}}$
循环第一次	$0/{\texttt {null}}$	$-1/v_{1}$	$3/v_{1}$	$\infty /{\texttt {null}}$
循环第二次	$0/{\texttt {null}}$	$-1/v_{1}$	$3/v_{1}$	$2/v_{2}$
循环第三次	$0/{\texttt {null}}$	$-1/v_{1}$	$1/v_{4}$	$2/v_{2}$