貝爾曼-福特算法

貝爾曼-福特算法（英語：Bellman–Ford algorithm），求解單源最短路徑問題的一種算法，由理查德·貝爾曼和小萊斯特·倫道夫·福特創立。有時候這種算法也被稱為貝爾曼-福特-摩爾算法（Bellman–Ford–Moore algorithm），因為愛德華·F·摩爾也為這個算法的發展做出了貢獻。它的原理是對圖進行$|V|-1$次鬆弛操作，得到所有可能的最短路徑。其優於戴克斯特拉算法的方面是邊的權值可以為負數、實現簡單，缺點是時間複雜度過高，高達$O(|V||E|)$。但算法可以進行若干種優化，提高了效率。

貝爾曼-福特算法
概況
類別	最短路徑問題（針對帶權有向圖）
資料結構	圖
複雜度
最壞時間複雜度	$O\left(|V||E|\right)$
最優時間複雜度	$\Theta (|E|)$
空間複雜度	$O(|V|)$
相關變量的定義

算法

在這個圖中，假設A是起點，並且邊以最壞的順序處理，從右到左，需要$|V|-1$步或$4$次計算路徑長度。相反地，若邊以最優順序處理，從左到右，算法只需要在一次遍歷內完成。

貝爾曼-福特算法與戴克斯特拉演算法類似，都以鬆弛操作為基礎，即估計的最短路徑值漸漸地被更加準確的值替代，直至得到最優解。在兩個算法中，計算時每個邊之間的估計距離值都比真實值大，並且被新找到路徑的最小長度替代。 然而，戴克斯特拉演算法以貪心法選取未被處理的具有最小權值的節點，然後對其的出邊進行鬆弛操作；而貝爾曼-福特算法簡單地對所有邊進行鬆弛操作，共$|V|-1$次，其中$|V|$是圖的點的數量。在重複地計算中，已計算得到正確的距離的邊的數量不斷增加，直到所有邊都計算得到了正確的路徑。這樣的策略使得貝爾曼-福特算法比戴克斯特拉演算法適用於更多種類的輸入。

貝爾曼-福特算法的最多運行$O(|V|\cdot |E|)$（大O符號）次，$|V|$和$|E|$分別是節點和邊的數量）。

偽代碼

procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
   // 讀入邊和節點的列表 
   // 初始化圖distance為∞，predecessor為空
   for each vertex v in vertices:
       if v is source then distance[v] := 0
       else distance[v] := infinity
       predecessor[v] := null
   // 對所有節點
   for i from 1 to size(vertices)-1:
        //檢查每條邊
       for each edge (u, v) with weight w in edges:
           if distance[u] + w < distance[v]:
               distance[v] := distance[u] + w
               predecessor[v] := u

   // 檢查是否有負權重的迴路
   for each edge (u, v) with weight w in edges:
       if distance[u] + w < distance[v]:
           error "圖包含負權重的迴路"

原理

循環

每次循環操作實際上是對相鄰節點的訪問，第$n$次循環操作保證了所有深度為n的路徑最短。由於圖的最短路徑最長不會經過超過$|V|-1$條邊，所以可知貝爾曼-福特算法所得為最短路徑。

負邊權操作

與戴克斯特拉演算法不同的是，戴克斯特拉演算法的基本操作「拓展」是在深度上尋路，而「鬆弛」操作則是在廣度上尋路，這就確定了貝爾曼-福特算法可以對負邊進行操作而不會影響結果。

負權環判定

因為負權環可以無限制的降低總花費，所以如果發現第$n$次操作仍可降低花銷，就一定存在負權環。

尋找負迴路

當使用這個算法尋找最短路徑時，有負迴路會使算法找不到正確的答案。但是，由於在找到負迴路後會中止算法，所以可以被用來尋找目標，例如在網路流分析中的消圈演算法(Cycle Cancellation Algorithms)

優化

循環的提前跳出

在實際操作中，貝爾曼-福特算法經常會在未達到$|V|-1$次前就出解，$|V|-1$其實是最大值。於是可以在循環中設置判定，在某次循環不再進行鬆弛時，直接退出循環，進行負權環判定。

隊列優化

主條目：最短路徑快速算法

西南交通大學的段凡丁於1994年提出了用隊列來優化的算法。鬆弛操作必定只會發生在最短路徑前導節點鬆弛成功過的節點上，用一個隊列記錄鬆弛過的節點，可以避免了冗餘計算。原文中提出該算法的複雜度為$O(k|E|)$，$k$是個比較小的係數，但該結論被證明不適于于所有情況。

Pascal語言示例

Begin
  initialize-single-source(G,s);
  initialize-queue(Q);
  enqueue(Q,s);
  while not empty(Q) do 
    begin
      u:=dequeue(Q);
      for each v∈adj[u] do 
        begin
          tmp:=d[v];
          relax(u,v);
          if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then
            enqueue(Q,v);
        end;
    end;
End;

C++語言示例

int SPFA(int s) {
	std::queue<int> q;
	bool inq[maxn] = {false};
	for(int i = 1; i <= N; i++) dis[i] = 2147483647;
	dis[s] = 0;
	q.push(s); inq[s] = true;
	while(!q.empty()) {
		int x = q.front(); q.pop();
		inq[x] = false;
		for(int i = front[x]; i !=0 ; i = e[i].next) {
			int k = e[i].v;
			if(dis[k] > dis[x] + e[i].w) {
				dis[k] = dis[x] + e[i].w;
				if(!inq[k]) {
					inq[k] = true;
					q.push(k);
				}
			}
		}
	}
	for(int i =  1; i <= N; i++) std::cout << dis[i] << ' ';
	std::cout << std::endl;
	return 0;
}

樣例

例：

$V=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\},E=\{(v_{1},v_{2}),(v_{1},v_{3}),(v_{2},v_{4}),(v_{4},v_{3})\}$，$weight(v_{1},v_{2})=-1,weight(v_{1},v_{3})=3,weight(v_{2},v_{4})=3,weight(v_{4},v_{3})=-1$。

運行如表： $D:{\texttt {Dist}}[v],P:{\texttt {Pred}}[v]$

點	$v_{1}$	$v_{2}$	$v_{3}$	$v_{4}$
	$D/P$	$D/P$	$D/P$	$D/P$
初始化	$0/{\texttt {null}}$	$\infty /{\texttt {null}}$	$\infty /{\texttt {null}}$	$\infty /{\texttt {null}}$
循環第一次	$0/{\texttt {null}}$	$-1/v_{1}$	$3/v_{1}$	$\infty /{\texttt {null}}$
循環第二次	$0/{\texttt {null}}$	$-1/v_{1}$	$3/v_{1}$	$2/v_{2}$
循環第三次	$0/{\texttt {null}}$	$-1/v_{1}$	$1/v_{4}$	$2/v_{2}$