克莱尼星号

Kleene 星号，或称Kleene 闭包，德语称 Kleensche Hülle，在数学上是一种适用于字符串或符号及字元的集合的一元运算。当 Kleene 星号被应用在一个集合 $V$ 时，写法是 $V^{*}$ 。它被广泛用于正则表达式。

定义及标记法

假定

V_{0}=\{\epsilon \}\,

递归的定义集合

V_{i+1}=\{wv:w\in V_{i}\wedge v\in V\}\,

这里的

i>0\,

如果 $V$ 是一个形式语言，集合 $V$ 的第 $i$ 次幂是集合 $V$ 同自身的 i 次串接的简写。就是说， $V_{i}$ 可以被理解为是从 $V$ 中的符号形成的所有长度为 $i$ 的字符串的集合。

所以在 $V$ 上的 Kleene 星号的定义是 $V^{*}=\bigcup _{i=0}^{+\infty }V_{i}=\left\{\varepsilon \right\}\cup V\cup V^{2}\cup V^{3}\cup \ldots$ 。就是说，它是从 $V$ 中的符号生成的所有可能的有限长度的字符串的搜集。

例子

Kleene 星号应用于字符串集合的例子：

{"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc", ...}

Kleene 星号应用于字元集合的例子：

{'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", ...}

推广

Kleene 星号经常推广到任何幺半群 (M, $\circ$ )，也就是，一个集合 M 和在 M 上的二元运算 $\circ$ 有着

(闭包) $\forall a,b\in M:~a\circ b\in M$
(结合律) $\forall a,b,c\in M:~(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
(单位元) $\exists \epsilon \in M:~\forall a\in M:~a\circ \epsilon =a=\epsilon \circ a$

如果 V 是 M 的子集，则 V* 被定义为包含 ε(空字符串)并闭合于这个运算下的 V 的最小超集。接着 V* 自身是幺半群，并被称为“V 生成的自由幺半群”。这是上面讨论的 Kleene 星号的推广，因为在某个符号的集合上所有字符串的集合形成了一个幺半群(带有字符串串接作为二元运算)。

参见

参考文献

The definition of Kleene star is found in virtually every textbook on automata theory. A standard reference is the following:

约翰·爱德华·霍普克洛夫特 and 杰弗里·乌尔曼（英语：Jeffrey Ullman）. Introduction to Automata Theory Languages and Computation. 1st edition. Addison-Wesley Publishing Company, 1979.