WKB近似

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量子力学里,WKB近似是一种半经典计算方法,可以用来解析薛定谔方程乔治·伽莫夫使用这方法,首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB近似先将量子系统的波函数,重新打造为一个指数函数。然后,半经典展开。再假设波幅相位的变化很慢。通过一番运算,就会得到波函数的近似解。

简略历史

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WKB近似以三位物理学家格雷戈尔·文策尔汉斯·克喇末莱昂·布里渊姓氏字首命名。于1926年,他们成功地将这方法发展和应用于量子力学。不过早在1923年,数学家哈罗德·杰弗里斯就已经发展出二阶线性微分方程的一般的近似法。薛定谔方程也是一个二阶微分方程。可是,薛定谔方程的出现稍微晚了两年。三位物理学家各自独立地在做WKB近似的研究时,似乎并不知道这个更早的研究。所以物理界提到这近似方法时,常常会忽略了杰弗里斯所做的贡献。这方法在荷兰称为KWB近似,在法国称为BWK近似,只有在英国称为JWKB近似[1]

数学概念

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一般而言,WKB近似专门计算一种特殊微分方程的近似解。这种特殊微分方程的最高阶导数项目的系数是一个微小参数 。给予一个微分方程,形式为

 

假设解答的形式可以展开为一个渐近级数

 

将这拟设代入微分方程。然后约去相同指数函数因子。又取 的极限。这样,就可以从 开始,一个一个的解析这渐近级数的每一个项目 

通常 的渐近级数会发散。当 大于某值后,一般项目 会开始增加。因此WKB近似法造成的最小误差,约是最后包括项目的数量级。

数学例子

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设想一个二阶齐次线性微分方程

 

其中, 

猜想解答的形式为

 

将猜想代入微分方程,可以得到

 

 的极限,最重要的项目是

 

我们可以察觉, 必须与 成比例。设定 ,则 的零次幂项目给出

 

我们立刻认出这是程函方程。解答为

 

检查 的一次幂项目给出

 

这是一个一维传输方程。解答为

 

其中, 是任意常数。

我们现在有一对近似解(因为 可以是正值或负值)。一般的一阶WKB近似解是这一对近似解的线性组合:

 

检查 的更高幂项目( )可以给出:

 

薛定谔方程的近似解

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解析一个量子系统的薛定谔方程,WKB近似涉及以下步骤:

  1. 波函数重写为一个指数函数
  2. 将这指数函数代入薛定谔方程
  3. 展开指数函数的参数为约化普朗克常数幂级数
  4. 匹配约化普朗克常数同次幂的项目,会得到一组方程,
  5. 解析这些方程,就会得到波函数的近似。

一维不含时薛定谔方程

 

其中, 约化普朗克常数 是质量, 是坐标, 位势 是能量, 是波函数。

稍加编排,重写为

 (1)

假设波函数的形式为另外一个函数 的指数(函数 作用量有很密切的关系):

 

代入方程(1),

 (2)

其中, 表示 随着 的导数。

 可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数  

 

注意到波函数的波幅是 ,相位是 。将 的代表式代入方程(2),分别匹配实值部分、虚值部分,可以得到两个方程:

 (3)
 (4)

半经典近似

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  展开为 幂级数

 
 

将两个幂级数代入方程(3)与(4)。 的零次幂项目给出:

 
 

假若波幅变化地足够慢于相位( ),那么,我们可以设定

 
 

只有当 的时候,这方程才成立。经典运动只会允许这种状况发生。

更精确一点, 的一次幂项目给出:

 
 

所以,

 
 

波函数的波幅是  

定义动量 ,则波函数的近似为

 (5)

其中,  是常数, 是一个任意参考点的坐标。

换到另一方面,假若相位变化地足够慢于波幅( ),那么,我们可以设定

 
 

只有当 的时候,这方程才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在量子系统里,才会发生这种状况,称为量子隧穿效应。类似地计算,可以求得波函数的近似为

 (6)

其中, 

连接公式

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显而易见地,我们可以从分母观察出来,在经典转向点 ,这两个近似方程(5)和(6)会发散,无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似解答。设定 是经典运动允许区域。在这区域内, ,波函数呈振动形式。其它区域  是经典运动不允许区域,波函数呈指数递减形式。假设在经典转向点附近,位势足够的光滑,可以近似为线性函数。更详细地说,在点 附近,将  展开为一个幂级数:

 

其中, 是常数值系数。

取至一阶,方程(1)变为

 

这微分方程称为艾里方程,其解为著名的艾里函数

 

匹配艾里函数和在 的波函数,在 的波函数,经过一番繁杂的计算,可以得到在 附近的连接公式connection formula[1]

 

类似地,也可以得到在 附近的连接公式:

 

量子化规则

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在经典运动允许区域 内的两个连接公式也必须匹配。设定角变量

 
 
 

那么,

 
 

立刻,我们可以认定 。匹配相位,假若 ,那么,

 

所以,

 

假若 ,那么,

 

所以,

 

总结,量子系统必须满足量子化守则:

 

范例

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考虑一个量子谐振子系统,一个质量为 的粒子,运动于谐振位势 ;其中, 是角频率。求算其本征能级 

能量为 的粒子,其运动的经典转向点 

 

所以,

 

粒子的动量为

 

将这些变量代入量子化守则:

 

经过一番运算,可以得到本征能量

 

借由以上之计算,发现近似解与精确解完全一样。

参阅

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参考文献

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现代文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 
  • Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5. 
  • Sakurai, J. J. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2. 
  • Bender, Carl; Orszag, Steven. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X. 

历史文献

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