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不加定义的概念

在类的公理体系中，有一些基本的概念是不加定义的，我们只能从其客观含义上给予解释，但这样的解释仅仅起到帮助理解这些概念。

数学中研究的任何一个客体对象都称为一个类。类的概念是没有任何限制。类与类之间可能存在着一种称为属于的关系，类A属于类B记为 $A\in B$ ，此时也称类A是类B的一个元素（简称为元）。我们可以把类理解成为是由若干元素组成的一个整体。一个类是否是另一个类的元素是完全确定的，这就是类元素的确定性。类A如果不是类B的元素，则称A不属于B，记为 $A\not \in B$ 。

另一个不加定义的概念就是：类总是具有一定的性质，我们常以P（x）表示类x具有性质P。我们可以把性质理解为“关于类的一句表述”。

我们还认为逻辑学中的基本概念与基本知识是类理论的基础。

类的外延公理

公理Ⅰ(外延公理) $\forall A,B(A=B\iff \forall x(x\in A\iff x\in B))$ 。

公理Ⅰ的含义是：两个类“相等”的充要条件是它们的元素完全相同，这就是说，类完全由其元素确定。类的所有元素可以通俗地称为它的外延，正因如此，公理Ⅰ被称为外延公理。由此我们可以定义：

定义1.1两个类A、B，如果它们的元素完全相同，则称这两个类是相等的，记为 $A=B$ 。

因此，类完全由其外延确定。

由外延公理我们可以得出：类中的元素是不会重复出现的（准确地说，重复出现的元素仍然被当作一个元素），这就是类元素的互异性；类中的元素是不计其出现在类中的顺序的，这就是类元素的无序性。

一个类可能由若干元素组成，而它本身又可能成为另外的类的元素，这就是类元素的相对性。

类的内涵与罗素悖论

一般地说，类中的元素总是具有某种共同的性质的，这就是类的元素的同质性。

一个类的所有元素所共同具有的、而且是这个类的元素所独有的性质（也就是说不是该类的元素就不具有该性质）通俗地称为该类的内涵。类的内涵与外延之间存在着直观的“反比关系”：类的内涵越多，其外延越小；内涵越少，其外延越大。

对于类的内涵问题，我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致如下的悖论：

罗素悖论设性质P（x）表示“ $x\not \in x$ ”，现假设由性质P确定了一个类A----也就是说“ $\forall x(x\in A\iff x\not \in x)$ ”。那么现在的问题是： $A\in A$ 是否成立？首先，若 $A\in A$ ，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知 $A\not \in A$ ；其次，若 $A\not \in A$ ，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的元素组成的，所以 $A\in A$ 。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论：

理发师悖论某理发师发誓“要给所有不自己理发的人理发，不给所有自己理发的人理发”，现在的问题是“谁为该理发师理发？”。首先，若理发师给自己理发，那他就是一个“自己理发的人”，依其誓言“他不给自己理发”；其次，若“他不给自己理发”，依其誓言，他就必须“给自己理发”。

而书目悖论也是罗素悖论的一种通俗表达形式。

真类与集合

为解决此类悖论，我们把类区分为两种：

定义1.2如果存在类B,而类A满足条件“ $A\in B$ ”，则称类A为一个集合（简称为集），记为 $Set(A)$ 。

定义1.2说明，一个集合是类的一种，它可以成为其它类的一个元素，这也正是集合的"严格"定义。

有另一种集合的定义：已存在一个类B,其中凡是符合属性P(x)的，可以构成一个类A。类A则是一个集合，或者说是B的一个子类。但对此种定义，人们可以提出质疑，不能保证A不是真类。但人们还是乐于接受该定义的。但定义说不上严格。

集合能进行各种类运算。

真类不是集合的类就是真类。真类是一种能以自身作为元素的类，对于真类，类运算并不一定都能进行。

一个真类却不能成为其它类的元素。因此我们可以理解为“本性类是最高层次的类”。

罗素悖论等于用反证法证明了真类的存在。但真类是抽象难理解的。

但是，“类和集合是非常一般的概念，什么是集合的问题是不能彻底回答的。只有随着数学实践来确定哪些类是集合，哪些类是真类，任何时间，总有一些类无法确定其到底是不是集合。”

类的内涵公理

公理Ⅱ（内涵公理）设P是一个性质，则 $\exists A(\forall x(x\in A\iff P(x)\wedge Set(x)))$ 。

公理Ⅱ的含义是：满足一定性质的所有集合可以组成一个类。

内涵公理能够解决罗素悖论：令P(x)为“ $x\not \in x$ ”（称为罗素性质）。我们无法确定所有满足P的类能否构成一个类，但是依据内涵公理，我们可以确定满足P的所有集合能够构成一个类 $A$ （这就证明了下面的性质1.1）。这时，可以得出“ $A\in A\iff P(A)\wedge Set(A)$ ”，即“ $A\in A\iff A\not \in A\wedge Set(A)$ ”。这并不导致悖论，只是说明：A不是集合；因此A是本性类，我们把这个类称为罗素类。

对于内涵公理，任给一个对所有集合都满足的性质P，如 $P(x)=Set(x)$ ，则有：

性质1.1所有的集合构成一个真类。

我们把所有集合构成的类称为极限类（真类），它是类理论所承认的“最大的”类。

由公理Ⅰ（外延公理）、公理Ⅱ（内涵公理）组成的公理体系我们称为罗素公理体系，这是关于类的理论的最基本的公理体系。

罗素公理体系与罗素悖论

罗素悖论产生的原因，是把真类当成集合。

可以说，罗素公理体系在两方面避免罗素悖论：第一，不存在包含自身的集合（包含自身的类是真类）。第二，“所有”集合的总体不是集合！而是一个真类。因为“所有”一词，包含了自身。

以书目悖论为例，根据罗素公理体系，所有符合条件的书的确构成了一个集合，因为它们可以与其它的书进一步构成更大的整体（集合的定义）--比如它们和不符合条件的书共同构成了图书馆里所有的书（类）。问题“这本书要记下自己的书名吗？”，即是，它包含自己吗？已经没有回答的意义。因为根据内涵定义，不存在包含真类的集合。所以实物上不存在里面提到的那一本目录书（也有人认为那是一个非法的集合，一个集合要包含自身，但又要和集合内其它元素相区别，是不可能的）。但注意，这一抽象概念却是存在的，它是一个真类。

在理发师悖论里，理发师其实划出了一个真类。如果理发师修改一下自己的说法：“除了我理发师本人之外，我给所有不给自己理发的人理发”，悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个集合（根据声明，他不在自己定义的服务群里）。

注意：罗素公理体系只是“避免”了罗素悖论，并没有解决罗素悖论。罗素公理体系的提出，是保证不产生悖论，又要求这些公理的范围足够宽，能容纳全部数学。就是说要给数学提供足够的集合。

术语

参看

链接

北京大学哲学系-集合论悖论^{[永久失效链接]}