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不加定義的概念

在類的公理體系中，有一些基本的概念是不加定義的，我們只能從其客觀含義上給予解釋，但這樣的解釋僅僅起到幫助理解這些概念。

數學中研究的任何一個客體對象都稱為一個類。類的概念是沒有任何限制。類與類之間可能存在着一種稱為屬於的關係，類A屬於類B記為 $A\in B$ ，此時也稱類A是類B的一個元素（簡稱為元）。我們可以把類理解成為是由若干元素組成的一個整體。一個類是否是另一個類的元素是完全確定的，這就是類元素的確定性。類A如果不是類B的元素，則稱A不屬於B，記為 $A\not \in B$ 。

另一個不加定義的概念就是：類總是具有一定的性質，我們常以P（x）表示類x具有性質P。我們可以把性質理解為「關於類的一句表述」。

我們還認為邏輯學中的基本概念與基本知識是類理論的基礎。

類的外延公理

公理Ⅰ(外延公理) $\forall A,B(A=B\iff \forall x(x\in A\iff x\in B))$ 。

公理Ⅰ的含義是：兩個類「相等」的充要條件是它們的元素完全相同，這就是說，類完全由其元素確定。類的所有元素可以通俗地稱為它的外延，正因如此，公理Ⅰ被稱為外延公理。由此我們可以定義：

定義1.1兩個類A、B，如果它們的元素完全相同，則稱這兩個類是相等的，記為 $A=B$ 。

因此，類完全由其外延確定。

由外延公理我們可以得出：類中的元素是不會重複出現的（準確地說，重複出現的元素仍然被當作一個元素），這就是類元素的互異性；類中的元素是不計其出現在類中的順序的，這就是類元素的無序性。

一個類可能由若干元素組成，而它本身又可能成為另外的類的元素，這就是類元素的相對性。

類的內涵與羅素悖論

一般地說，類中的元素總是具有某種共同的性質的，這就是類的元素的同質性。

一個類的所有元素所共同具有的、而且是這個類的元素所獨有的性質（也就是說不是該類的元素就不具有該性質）通俗地稱為該類的內涵。類的內涵與外延之間存在着直觀的「反比關係」：類的內涵越多，其外延越小；內涵越少，其外延越大。

對於類的內涵問題，我們通常希望：任給一個性質，滿足該性質的所有類可以組成一個類。但這樣的企圖將導致如下的悖論：

羅素悖論設性質P（x）表示「 $x\not \in x$ 」，現假設由性質P確定了一個類A----也就是說「 $\forall x(x\in A\iff x\not \in x)$ 」。那麼現在的問題是： $A\in A$ 是否成立？首先，若 $A\in A$ ，則A是A的元素，那麼A具有性質P，由性質P知 $A\not \in A$ ；其次，若 $A\not \in A$ ，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的元素組成的，所以 $A\in A$ 。

羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論：

理髮師悖論某理髮師發誓「要給所有不自己理髮的人理髮，不給所有自己理髮的人理髮」，現在的問題是「誰為該理髮師理髮？」。首先，若理髮師給自己理髮，那他就是一個「自己理髮的人」，依其誓言「他不給自己理髮」；其次，若「他不給自己理髮」，依其誓言，他就必須「給自己理髮」。

而書目悖論也是羅素悖論的一種通俗表達形式。

真類與集合

為解決此類悖論，我們把類區分為兩種：

定義1.2如果存在類B,而類A滿足條件「 $A\in B$ 」，則稱類A為一個集合（簡稱為集），記為 $Set(A)$ 。

定義1.2說明，一個集合是類的一種，它可以成為其它類的一個元素，這也正是集合的"嚴格"定義。

有另一種集合的定義：已存在一個類B,其中凡是符合屬性P(x)的，可以構成一個類A。類A則是一個集合，或者說是B的一個子類。但對此種定義，人們可以提出質疑，不能保證A不是真類。但人們還是樂於接受該定義的。但定義說不上嚴格。

集合能進行各種類運算。

真類不是集合的類就是真類。真類是一種能以自身作為元素的類，對於真類，類運算並不一定都能進行。

一個真類卻不能成為其它類的元素。因此我們可以理解為「本性類是最高層次的類」。

羅素悖論等於用反證法證明了真類的存在。但真類是抽象難理解的。

但是，「類和集合是非常一般的概念，什麼是集合的問題是不能徹底回答的。只有隨着數學實踐來確定哪些類是集合，哪些類是真類，任何時間，總有一些類無法確定其到底是不是集合。」

類的內涵公理

公理Ⅱ（內涵公理）設P是一個性質，則 $\exists A(\forall x(x\in A\iff P(x)\wedge Set(x)))$ 。

公理Ⅱ的含義是：滿足一定性質的所有集合可以組成一個類。

內涵公理能夠解決羅素悖論：令P(x)為「 $x\not \in x$ 」（稱為羅素性質）。我們無法確定所有滿足P的類能否構成一個類，但是依據內涵公理，我們可以確定滿足P的所有集合能夠構成一個類 $A$ （這就證明了下面的性質1.1）。這時，可以得出「 $A\in A\iff P(A)\wedge Set(A)$ 」，即「 $A\in A\iff A\not \in A\wedge Set(A)$ 」。這並不導致悖論，只是說明：A不是集合；因此A是本性類，我們把這個類稱為羅素類。

對於內涵公理，任給一個對所有集合都滿足的性質P，如 $P(x)=Set(x)$ ，則有：

性質1.1所有的集合構成一個真類。

我們把所有集合構成的類稱為極限類（真類），它是類理論所承認的「最大的」類。

由公理Ⅰ（外延公理）、公理Ⅱ（內涵公理）組成的公理體系我們稱為羅素公理體系，這是關於類的理論的最基本的公理體系。

羅素公理體系與羅素悖論

羅素悖論產生的原因，是把真類當成集合。

可以說，羅素公理體系在兩方面避免羅素悖論：第一，不存在包含自身的集合（包含自身的類是真類）。第二，「所有」集合的總體不是集合！而是一個真類。因為「所有」一詞，包含了自身。

以書目悖論為例，根據羅素公理體系，所有符合條件的書的確構成了一個集合，因為它們可以與其它的書進一步構成更大的整體（集合的定義）--比如它們和不符合條件的書共同構成了圖書館裏所有的書（類）。問題「這本書要記下自己的書名嗎？」，即是，它包含自己嗎？已經沒有回答的意義。因為根據內涵定義，不存在包含真類的集合。所以實物上不存在裏面提到的那一本目錄書（也有人認為那是一個非法的集合，一個集合要包含自身，但又要和集合內其它元素相區別，是不可能的）。但注意，這一抽象概念卻是存在的，它是一個真類。

在理髮師悖論里，理髮師其實劃出了一個真類。如果理髮師修改一下自己的說法：「除了我理髮師本人之外，我給所有不給自己理髮的人理髮」，悖論就被避免了。因為理髮師此時定義了一個集合（根據聲明，他不在自己定義的服務群里）。

注意：羅素公理體系只是「避免」了羅素悖論，並沒有解決羅素悖論。羅素公理體系的提出，是保證不產生悖論，又要求這些公理的範圍足夠寬，能容納全部數學。就是說要給數學提供足夠的集合。

術語

參看

連結

北京大學哲學系-集合論悖論^{[永久失效連結]}