七维空间

在数学中， 一个n实数的序列可以被理解为n维空间中的一个位置。当n等于七时， 所有这样的位置的集合被称为 七维空间。 通常这种空间被研究为一个向量空间，而没有任何距离的概念。 七维欧几里得空间是一个配备了一个欧几里得距离的七维空间，它由点积定义。

更广义的来说， 该术语可以指任何体 (数学)上的七维向量空间，例如七维复矢量空间，其实际有着十四个维度。 它同时也可能指七维流形例如七维球面，或其它各种几何构造。

七维空间有许多特殊的属性，其中许多与八元数有关。 一个特别独特的属性是向量积仅可以在三维或七维中定义。 这些皆和胡尔维兹定理相关，它禁止像四元数以及八元数这样的代数结构在除了1，2,4和8之外的维度的存在。 第一个被发现的异构球体是七维的。

概述

根据90年代提出的M理论（超弦理论的一种），宇宙是十一维的，由震动的平面构成的。在爱因斯坦那里，宇宙只是四维的（三维空间和一维时间），现代物理学则认为还有七维空间我们看不见。 科学家们对我们已认知的维与可能存在但未被认知的维之间的区别是如何解释的呢？他们打了一个比方：一只蚂蚁在一张纸上行走，它只能向右或向左，向前或向后走。对它来说高与低均无意义，这就是说，第3维的空间是存在的，但没有被蚂蚁所认识。同样，我们的世界是由四维构成的（三个空间维，一个时间维），但我们没有觉察到所有其他的维。

几何学中

七维多胞形

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在七维空间中的多胞形都称为七维多胞形。 最常见的是正多胞形，而这些正多胞形在七维空间中只有三个: 七维单纯形，七维超方形，七维正轴形。 而更广义的类型是七维均匀多胞形，是由反射的基本对称群构造出的，每一个域由考斯特群定义。 每一个均匀多胞形是由一个环形考斯特图定义的。 七维半超方形是一个D7家族中的一个特殊多胞形，而3₂₁，2₃₁，以及1₃₂则是属于E7系列。

七维空间中的正多胞形以及均匀多胞形
（根据对称性的考斯特平面正交投影）

A6	B7		D7	E7
七维单纯形	七维超方形	七维正轴形	七维半超方形	321	231	132

六维球面

六维球面，或是七维空间的超球体， 是一个从六维曲面到中心点皆等距的超球体。它的符号为S⁶，而关于六维球面的方程式，设半径为r，其超球心为

$S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.$

而这个六维球面在七维空间的体积是

$V_{7}\,={\frac {16\pi ^{3}}{105}}\,r^{7}$

也就是4.74277 × r⁷，而一个七维超立方体中最大的内接七维超球大约等同于该七维超立方体的0.0369倍。

应用

向量积

七维向量的向量积，是一个向量值，是七维空间中两个向量的正交乘积，其具有双线性、反交换的性质。与三维中更常见的向量积不同，因为它不是一个可以简单地被算出来的积。

七维空间是除了三维空间之外，唯一一个可以定义向量叉积的空间。

异构球体

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在1956年，约翰·米尔诺构造出了一个在七维空间中的异构球体并且显示在七维球面上存在至少七个可分辨的结构。 在1963年他表明这种结构的确切数目是28种。

参见

• 次元
• 欧几里得几何
• 几何主题列表
• 正图形列表

参考资料

• H.S.M. Coxeter: Regular Polytopes. Dover, 1973
• J.W. Milnor: On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Annals of Mathematics 64, 1956

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Euclidean geometry, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4