伯努利微分方程

伯努利微分方程是形式如 $y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$ 的常微分方程。

解法

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

代入 $w={y^{1-n}}\,$ （注意 $w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'$ ）：

{\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)

此一阶常微分方程可用积分因子求解。

解以下微分方程。

y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}

两边除以 $y^{2}$ ，得：

y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}

利用分离变数法，可得：

w={\frac {1}{y}}

w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.

w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}

它可以用积分因子的方法来解出。

M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}.

两边乘以 $M(x)$ ，得：

w'x^{2}+2xw=x^{4},\,

等式的左边是 $wx^{2}$ 的导数。两边积分，得：

\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx

wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C

{\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C

于是：

y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}