局部域

在数学上，局部域是一类特别的域，它有非平凡的绝对值，此绝对值赋予的拓扑是局部紧的。局部域可粗分为两类：一种的绝对值满足阿基米德性质（称作阿基米德局部域），另一种的绝对值不满足阿基米德性质（称作非阿基米德局部域）。在数论中，数域的完备化给出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域

设$F$为非阿基米德局部域，而$|\cdot |$为其绝对值。关键在下述对象：

• 闭单位球：$\{a\in F:|a|\leq 1\}$，或其整数环${\mathcal {O}}$，这是个紧集。
• 整数环里的单位元：${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}$
• 开单位球：$\{a\in F:|a|<1\}$，这同时是其整数环里唯一的极大理想，也记作${\mathfrak {m}}$。

上述对象与赋值环的构造相呼应；事实上，可证明必存在实数$0<c<1$及离散赋值$v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$，使得

$\forall a\in F\;c^{v(a)}=|a|$.

可取唯一的$c$使得$v$为满射，称之为正规化赋值。

从此引出非阿基米德局部域的另一个等价定义：一个域$F$，带离散赋值$v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$，使得$F$成为完备的拓扑域，而且剩余域有限。

这类局部域的行为可由局部类域论描述。

分类

局部域的完整分类如次：

• $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$。这些是阿基米德局部域。
• p进数域$\mathbb {Q} _{p}$的有限扩张。这些是特征为零的非阿基米德局部域。
• $\mathbb {F} _{q}((T))$的有限扩张（其中$\mathbb {F} _{q}$表有q个元素的有限域）。这些是特征非零的非阿基米德局部域。

文献

• Milne, James, Algebraic Number Theory.
• Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.