布鲁克斯定理

圖的色數與最大度之關係

图论中,布鲁克定理(英语:Brooks' theorem[1] 描述了图的着色数与图中最大度数的关系,提供了图着色数的一个上界。定理断言,若连通图G中,每个顶点都不多于Δ个邻居,且G不是完全图奇环,则G可以被Δ-着色,即G可以被染成Δ种颜色,使得相邻点颜色互不相同。

背景

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图染色数

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考虑为 的顶点染色,而使每边的两端不同色。以符号表示,条件是:对于图 中任意两个顶点 ,如果 ,那么 所染成的颜色不同。

对于图 ,如果存在一个 种颜色的恰当染色方案,称 可染 色(或“ 可着色”)。在所有满足条件的 中,称最小的那个 称为染色数 

图最小染色数和图最大度数关系

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 的最大记作 。对于任意图  始终成立。但是这个上界并不足够紧。而布鲁克斯定理提供了一个更紧的上界。

图着色问题有一个贪心染色法greedy coloring[2],将颜色标号为 ,将图G的顶点排序为 ,按顺序对顶点 进行染色。染 时,其邻居至多有 个,所以已染色的邻居中,至多只用了 种色,尚有某种色未用,可选择该种色作为 的着色。

根据布鲁克斯定理,不等式 取等当且仅当G为完全图或奇环。当G为完全图时,  ,当G为奇环时,  ,均满足 

定理叙述

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如果 是一个连通图,而且 不是奇环 或者完全图 ,那么 。其中 是图 的最小着色数, 是图 中点的最大度数。

定理证明

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此处给出洛瓦兹·拉兹洛[3]的一个证明(亦见诸[4])。

 。当 的时候, 是完全图。当 的时候,由于 不是奇环,那么 要么是一条路径 ,或者偶环 。此时 。所以,只需从 开始考虑。分下列三种情况:

G不是k正则图

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选择G中度小于k的点 最后染色。由于 连通,有某种排序方式使得除 之外,每个节点都有一个邻点排在它的后面:例如从 出发对图G进行深度优先遍历,按照DFS序的逆序排列G的节点。故只有小于等于k - 1个邻点排在它前面,这样,只有小于等于k - 1个邻点排在它前面,而 ,故也只有小于等于k - 1个邻点排在它前面,按该次序的贪心染色最多只用k种色。

若要避免术语“DFS”,可以构造下列集合 直到里面包含 中所有顶点:

 

然后可以用上述贪心染色算法对图 进行染色。染色顺序为:先染 中的点,再染 中的点,一直这么下去直到染完 中的点。这种算法使用 种颜色就能完成。当染到点 时,  中至少有一个邻居,所以 邻居中至多只有 个被染色过,所以能对 进行染色。

当染点 的时候,由于  邻居中至多只有 个被染色过,所以同样能对 进行染色。所以用 种颜色对 恰当染色。

Gk正则图但有割点

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假设割点 ,那么 就不是连通图,设  连通分量 。对于任意一个连通分支 ,考虑 。由于  的度数小于  。由前述贪心染色算法可知, 可染 色。然后只需令这些染色方案中 所染的颜色一样(如果不一样,将所有点染的颜色重新排列一下),就能拼成 的染色方案,所以可用 种颜色对 恰当染色。

Gk正则图且无割点

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由于 中没有割点, 2连通图英语Biconnected graph。断言可以找到一个顶点 ,使得它有两个邻点 ,满足 不相邻,且 连通。如果这样的 存在,就可以先将 染成同色,然后贪心地为其他点染色,使 最后染。这样贪心染法只用不超过 种色,因为除 之外的点,只有小于等于 个邻点排在它前面,而 又有两个邻点 同色,故 的邻域只用前 种色,尚有余下颜色可用。以下说明为何有此种 

如果 是3连通的,则可以选取距离为2的两点 (因为 不是完全图),及其公共邻点 。如此有 ,又由于 是3连通的, 是连通图,即为所求。

仅剩 是2连通但不是3连通的情况。此时有顶点 使 仅为1连通,考虑 各个双连通分支英语biconnected component,之间以割点连接,组成一棵树。因为 不是2连通,该树至少有两个叶区块(leaf block),设为 。又因为 无割点,所以 的每一个叶区块中,必有某个非割点与 相邻。于是,可以在 中各取 的邻点 ,使 不是 的割点。如此, 不相邻(否则 属同一双连通分支),且 连通。因为 ,所以 连通。证毕。

参考文献

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  1. ^ Brooks, R. L., On colouring the nodes of a network, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society英语Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1941, 37 (2): 194–197, doi:10.1017/S030500410002168X 
  2. ^ Mitchem, John, On various algorithms for estimating the chromatic number of a graph, The Computer Journal英语The Computer Journal, 1976, 19 (2): 182–183, MR 0437376, doi:10.1093/comjnl/19.2.182 
  3. ^ Lovász, L., Three short proofs in graph theory, Journal of Combinatorial Theory英语Journal of Combinatorial Theory, Series B, 1975, 19 (3): 269–271, doi:10.1016/0095-8956(75)90089-1 
  4. ^ Douglas B.West. Introduction to Graph Theory. Pearson Enducation. 2002. ISBN 81-7808-830-4.