在数学中,张量积,记为 ,可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。
例子:
结果的秩为2、维数为 4×3 = 12。
这里的秩指的是“张量秩”(所需指标数),而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目;矩阵的秩是 2。
代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。
有两个(或更多)张量积的分量的一般公式。例如,如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量,则它们的张量积的分量给出为
- 。[1]
所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。
注意在张量积中,因子 V 消耗前 rank(V) 个指标,而因子 U 再消耗 rank(U) 个指标,所以
-
设 U 是类型 (1,1) 的张量,带有分量 Uαβ;并设 V 是类型 (1,0) 的张量,带有分量 Vγ。则
-
而
- 。
张量积继承它的因子的所有指标。
给定多重线性映射 和
它们的张量积是多重线性函数
-
张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自
-
的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(X, ψ),这里的 X 是向量空间,而 ψ 是双线性映射 V × W → X,则存在一个唯一的线性映射
-
使得
- 。
假定这个泛性质,张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。
直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射
-
和线性映射
-
的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。
两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间,其定义如下。
设 和 是两个希尔伯特空间,分别带有内积 和 。构造 H1 和H2 的张量积 如下:
考虑他们的作为线性空间的张量积 。 和 上的内积自然地扩展到 上:
由内积的双线性(Bilinearity),只需定义
-
其中 和
即可。
现在 是一未必完备的内积空间。将 完备化,得到希尔伯特空间 ,这就是 H1 和 H2作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中, 具有如前所述的泛性质,即它是二者在该范畴内的乘积。
如果 H1 和 H2 分别有正交基 {φk} 和 {ψl},则 {φk ⊗ ψl} 是 H1 ⊗ H2 的正交基。
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类似的公式对反变以及混合型张量也成立。尽管许多情形,比如定义了一个内积,这种区分是无关的。