支出最小化

支出最小化问题，在经济学，特别是微观经济学中是效用最大化问题的对偶问题，直观地说就是：“需要多少钱才能使我效用达到最大？” 给定效用函数，价格，和效用目标，这个问题可以分为两部分。

• 由支出函数决定消费者所需金额。
• 由希克斯需求函数决定消费者如何在最小化其支出的情况下维持其效用不变。

支出函数

假设消费者有一个定义在$L$种商品$\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{L}$上的效用函数$u$。则该消费者的支出函数给出在给定价格为$\mathbf {p}$的情况下购买一组商品$x$，使得得到的效用$u(x)\geq u^{*}$时所需钱的数额。 形式上，支出函数可以这样定义。

$e(\mathbf {p} ,u^{*})=\min _{\mathbf {x} \in \geq (u^{*})}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x}$

这里

$\geq (u^{*}):=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{L}|u(\mathbf {x} )\geq u^{*}\}$，

表示收入效用至少等于$u^{*}$的组合的集合。

希克斯需求函数

希克斯需求函数 $\mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})$定义一个得到所需效用的最便宜组合。它也可以用支出函数来定义马歇尔需求函数，

$\mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})=\mathbf {x} (\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u^{*}))$。

如果马歇尔需求对应$\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)$是一个总是给出唯一解的函数，则与之相对应的希克斯需求对应$\mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})$ 也可以被称为是希克斯需求函数。

相关条目

• 效用最大化问题
• 拉格朗日乘数

参考文献

• Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401