汉克尔变换

汉克尔变换是指对任何给定函数 $f(r)$ 以第一类贝塞尔函数 $J_{\nu }(kr)$ 作无穷级数展开，贝塞尔函数 $J_{\nu }(kr)$ 的阶数不变，级数各项 $k$ 作变化。各项 $J_{\nu }(kr)$ 前系数 $F_{\nu }$ 构成了变换函数。对于函数 $f(r)$, 其 $\nu$ 阶贝塞尔函数的汉克尔变换（$k$ 为自变量）为

$F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)rdr$

其中，$J_{\nu }$ 为阶数为 $\nu$ 的第一类贝塞尔函数，$\nu \geq -1/2$。对应的，逆汉克尔变换 $F_{\nu }(k)$ 定义为

$f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)kdk$

汉克尔变换是一种积分变换，最早由德国数学家赫尔曼·汉克尔提出，又被称为傅立叶-贝塞尔变换。

正交性

贝塞尔函数构成 正交函数族 权重因子为 r:

$\int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r~\operatorname {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}}$

其中 $k$ 与 $k'$ 大于零。

与其他函数变换的关系

傅立叶变换

零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换。给定二维函数 $F({\boldsymbol {r}})$ ，径向矢量为 ${\boldsymbol {r}}$，其傅立叶变换为

$F({\boldsymbol {k}})=\iint f({\boldsymbol {r}})e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}d{\boldsymbol {r}}$

不失一般性，选择极坐标 $(r,\theta )$ ，使得矢量 ${\boldsymbol {k}}$ 方向指向 $\theta =0$ 。极坐标下的傅立叶变换写作

$F({\boldsymbol {k}})=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{ikr\cos \theta }rdrd\theta$

其中 $\theta$ 为矢量 ${\boldsymbol {k}}$ 与 ${\boldsymbol {r}}$ 间夹角。如果函数 $f$ 恰为圆对称不依赖角变量 $\theta$ ，$f\equiv f(r)$ ，对角度 $\theta$ 的积分可以提出，傅立叶变换写作

$F({\boldsymbol {k}})=F(k)=2\pi \int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)rdr$

此式恰为 $f(r)$ 的零阶汉克尔变换的 $2\pi$ 倍。

常见汉克尔变换函数对

$f(r)\,$	$F_{0}(k)\,$
$1\,$	$\delta (k)/k\,$
$1/r\,$	$1/k\,$
$r\,$	$-1/k^{3}\,$
$r^{3}\,$	$9/k^{5}\,$
$r^{m}\,$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)}}\,$ for -2<Re(m)<-1/2
${\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\,$	${\frac {e^{-k|z|}}{k}}={\sqrt {\frac {2|z|}{\pi k}}}K_{-1/2}(k|z|)\,$
${\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\,$	$K_{0}(kz)\,$, $z$可为复数
$e^{iar}/r\,$	$i/{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}\quad (a>0,k<a)\,$
$\,$	$1/{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}\quad (a>0,k>a)\,$
$e^{-a^{2}r^{2}/2}\,$	${\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}$
$-r^{2}f(r)\,$	${\frac {\operatorname {d} ^{2}F_{0}}{\operatorname {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} F_{0}}{\operatorname {d} k}}$
$f(r)\,$	$F_{\nu }(k)\,$
$r^{s}\,$	${\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}{\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}\,$
$r^{\nu -2s}\Gamma \left(s,r^{2}h\right)\,$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\frac {k^{2}}{4h}}\right)\,$
$e^{-r^{2}}r^{\nu }U\left(a,b,r^{2}\right)\,$	${\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\frac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\frac {k^{2}}{4}}\right)$
$-r^{2}f(r)\,$	${\frac {\operatorname {d} ^{2}F_{\nu }}{\operatorname {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} F_{\nu }}{\operatorname {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }$

参见条目

• 傅里叶变换