粘性解

数学中，粘性解是20世纪80年代早期由皮埃尔-路易·利翁和Michael G. Crandall作为对偏微分方程（PDE）经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的，例如优化控制中的一阶偏微分方程（哈密顿-雅可比-贝尔曼方程），微分对策中（Hamilton–Jacobi–Isaacs equation），前端演化问题（front evolution problem），还有二阶方程，例如在随机优化控制或随机微分博弈（stochastic differential game）中出现的。

经典的概念是在域$x\in \Omega$中PDE

$H(x,u,Du)=0$

有解，如果能找到在整个域上连续且可微的函数u(x)，使得x, u和Du（u的微分）在每个点都满足上面的等式。

在粘性解的意义下，u不需要在每个点都可微。可能在有些点上Du不存在，即u中存在扭结（kink）但u在适当意义下满足等式。虽然在某个点上Du可能不存在，但可以使用下面定义的上微分（superdifferential）$D^{+}u$和下微分（subdifferential）$D^{-}u$代替。

定义1. $D^{+}u(x_{0})=\left\{p:\limsup _{x_{1}\rightarrow x_{0}}{\frac {u(x_{1})-u(x_{0})-p(x_{1}-x_{0})}{|x_{1}-x_{0}|}}\leq 0\right\}$

定义2. $D^{-}u(x_{0})=\left\{p:\liminf _{x_{1}\rightarrow x_{0}}{\frac {u(x_{1})-u(x_{0})-p(x_{1}-x_{0})}{|x_{1}-x_{0}|}}\geq 0\right\}$

一般地，集合$\,D^{+}u\,$中的每个$\,p\,$是$\,u\,$在$\,x_{0}\,$"斜率"（slope）的一个上界，集合$\,D^{-}u\,$中每个$\,p\,$是$\,u\,$在$\,x_{0}\,$"斜率"（slope）的一个下界。

定义3. 连续函数u是上面PDE的一个粘性上解（viscosity subsolution），如果满足

$H(x,u(x),p)\leq 0,\forall x\in \Omega ,\forall p\in D^{+}u(x)$

定义4. 连续函数u是上面PDE的一个粘性下解（viscosity supersolution），如果满足

$H(x,u(x),p)\geq 0,\forall x\in \Omega ,\forall p\in D^{-}u(x)$。

定义5.连续函数u是PDE的一个粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。

粘性解存在不需引入上（下）微分概念的等价定义，见Fleming与Soner书中的第II.4节。